visste du att tvättmetoden är en förlängning av skivmetoden för att hitta volymen av ett fast ämne för att täcka fasta ämnen med ett hål?

Jenn, grundare Calcworkshop Kubi, 15 + års erfarenhet (licensierad & certifierad lärare)

det är sant!

Låt oss hoppa in och ta reda på mer!

Bakgrund

för att förstå hur-till, låt oss påminna oss själva hur vi skulle beräkna ett skuggat regionområde som vi gjorde i geometri.

Antag att vi blir ombedda att hitta området för en rektangel med en triangel som saknas från mitten.

vad skulle vi göra?

först skulle vi se rektangelns område och triangelns område separat.

då skulle vi subtrahera dessa två värden för att hitta det återstående området som ses nedan.

använd Subtraktionsmetoden för att hitta området för den skuggade regionen – rektangel

Tja, vi kan göra samma sak för att hitta fasta ämnen av revolution. Vi ska ta en skiva och ta bort en del.

Antag att vi har en rektangel som är vinkelrät mot revolutionens axel, men rektangeln rör inte direkt revolutionens axel.

hur skulle vi beräkna området för denna rektangel? Se nedan.

hitta området för den skuggade regionen i en rektangel

detta betyder att när vi roterar rektangeln om revolutionens axel kommer vi att hitta volymen för den yttre radien (R) minus den inre radien (r).

\begin{equation}
V=\pi r^{2} w-\pi r^{2} w=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right) W
\end{equation}

följaktligen, om vi tillämpar denna teknik för ett oändligt antal rektanglar, kan vi hitta volymen av det fasta ämnet som bildas genom att rotera ett avgränsat område runt en axel med hjälp av följande formel.

\börja{ekvation}
V= \ pi \ int_{a}^{b} \ vänster (R^{2}-r^{2}\höger) d x
\end{ekvation}

fantastiskt!

tvättmetoden (steg för steg)

Så, låt oss titta på ett exempel och se tvättmetoden för fasta ämnen av revolution i aktion.

hitta volymen av det fasta ämnet som bildas genom att rotera regionen avgränsad av graferna om x-axeln.

\ begin{equation}
y=x^{2} \text { och } y=\sqrt{x}
\end{equation}

Steg 1:

först kommer vi att rita vår avgränsade region.

hur man hittar volymen av ett fast ämne med integraler

steg 2:

därefter identifierar vi vår rotationsaxel och skapar vår vertikala, rektangulära skiva vinkelrätt mot rotationsaxeln (dvs. x-axeln). På så sätt bestämmer vi vår tjocklek för att vara dx.

tvättmetod-roterar runt X-axeln

steg 3:

Nu måste vi bestämma vår yttre radie, R och vår inre radie, r.

identifiera revolutionens axel med inre och yttre radie

steg 4:

slutligen kopplar vi in allt i vår formel och integrerar det för att hitta volymen av den resulterande solid of revolution.

\börja{ekvation}
\börja{array}{l}
V=\pi \int_{A}^{b}\vänster(r^{2}\höger) d x=\pi \int_{0}^{1}(\sqrt{x})^{2}-\vänster(x^{2}\Höger)^{2} d x \\
V=\pi \int_{0}^{1}\vänster(x-x^{4}\höger) d x=\pi\vänster(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{5}}{5} \ höger]_{0}^{1}=\frac{3 \ pi}{10}
\end{array}
\ end{ekvation}

Wow! Vi fann just att volymen av den avgränsade regionen när roteras om x-axeln!

Disk och bricka metod med hål

volym fast bricka metod

se, inte så illa!

sammanfattning

tillsammans kommer vi att arbeta igenom ett överflöd av frågor i detalj för att hitta volymen av ett fast ämne som genereras om x-axeln, y-axeln eller någon horisontell eller vertikal linje vars tvärsnitt är brickor.

det kommer att bli kul, så låt oss komma till det!

Video Tutorial w/ Full lektion& detaljerade exempel (Video)

få tillgång till alla kurser och över 150 HD-videor med din prenumeration

månatliga, halvårs-och årliga planer tillgängliga

få min prenumeration nu

ännu inte redo att prenumerera? Ta Calcworkshop för en snurr med vår gratis limits course