11. Sannolikhetsfördelningar-begrepp
på denna sida…
- definitioner av slumpmässiga, diskreta och kontinuerliga variabler
- distributionsfunktion
- sannolikheter som relativ frekvens
- förväntat värde
- varians
- standardavvikelse
Notation
Vi använder versaler variabler (som X och Z) för att beteckna slumpvariabler, och gemener (som x och z) för att beteckna specifika värden för dessa variabler.
begreppet slumpvariabel
termen ”statistiskt experiment” används för att beskriva varje process genom vilken flera chansobservationer erhålls.
alla möjliga resultat av ett experiment innefattar en uppsättning som kallas provutrymmet. Vi är intresserade av en numerisk beskrivning av resultatet.
När vi till exempel kastar ett mynt `3` gånger, och vi är intresserade av antalet huvuden som faller, kommer ett numeriskt värde på `0, 1, 2, 3` att tilldelas varje provpunkt.
siffrorna`0`, `1`, `2`, och` 3 ’ är slumpmässiga kvantiteter som bestäms av resultatet av ett experiment.
de kan betraktas som de värden som antas av någon slumpmässig variabel x, vilket i detta fall representerar antalet huvuden när ett mynt kastas 3 gånger.
Så vi kunde skriva x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 och x4 = 3.
definitioner
-
en slumpmässig variabel är en variabel vars värde bestäms av resultatet av ett slumpmässigt experiment.
-
en diskret slumpmässig variabel är en vars uppsättning antagna värden är räknbara (uppstår vid räkning).
-
en kontinuerlig slumpmässig variabel är en vars uppsättning antagna värden är otalbar (uppstår från mätning.).
vi ska använda:
ett kapital (versaler) X för slumpvariabeln och
gemener x1, x2, x3… för värdena för den slumpmässiga variabeln i ett experiment. Dessa xi representerar sedan en händelse som är en delmängd av provutrymmet.
sannolikheten för händelserna ges av: P (x1), P(x2), P(x3),…
vi använder också notationen ’ P (X)’. Till exempel kan vi behöva hitta några av de sannolikheter som är inblandade när vi kastar en dö. Vi skulle skriva för sannolikheten att få en ”5” När vi rullar en dö som:
`P(X=5)=1/6`
exempel 1 – diskret slumpmässig variabel
två bollar dras slumpmässigt i följd utan ersättning från en urn som innehåller ” 4 ” röda bollar och `6` svarta bollar.
hitta sannolikheten för alla möjliga resultat.
svar
låt X ange antalet röda bollar i resultatet.
| möjliga resultat | RR | RB | BR | BB |
|---|---|---|---|---|
| X | 2 | 1 | 1 | 0 |
här, x1 = 2, x2 = 1 , X3 = 1 , x4 = 0
nu är sannolikheten för att få ” 2 ” röda bollar när vi drar ut bollarna en i taget:
sannolikheten för att den första bollen blir röd ` = 4/10`
sannolikheten för att den andra bollen blir röd ` = 4/10`
sannolikheten för att den andra bollen blir röd Red ` = 3/9` (eftersom det finns `3` röda bollar kvar i urnen, av totalt `9` bollar kvar.) Så:
`P(x_1)=4/10times3/9=2/15`
likaså för sannolikheten för rött först är `4/10` följt av svart är `6/9` (eftersom det finns `6` svarta bollar fortfarande i urnen och `9` bollar alla tillsammans). Så:
`P(x_2)=4/10times6/9 = 4/15`
På samma sätt för svart sedan röd:
`P(x_3)=6/10times4/9=4/15`
slutligen, för ” 2 ” svarta bollar:
`P(x_4)=6/10times5/9=1/3`
som en kontroll, om vi har hittat alla sannolikheter, bör de lägga till upp till ”1”.
`2/15 + 4/15 + 4/15 + 1/3 = 15/15 = 1`
Så vi har hittat dem alla.
exempel 2 – kontinuerlig slumpmässig variabel
en burk kaffe plockas slumpmässigt från en fyllningsprocess där en automatisk maskin fyller kaffeburkar vardera med `1\ ”kg”` kaffe. På grund av vissa fel i den automatiska processen kan vikten på en burk variera från burk till burk i intervallet `0,9\ ”kg”` till `1,05\ ”kg”`, exklusive den senare.
låt X beteckna vikten på en burk kaffe vald. Vad är intervallet X?
svar
möjliga resultat: 0.9 ci x < 1.05
det är allt som finns till det!
Distributionsfunktion
definitioner
-
en diskret sannolikhetsfördelning är en tabell (eller en formel) som visar alla möjliga värden som en diskret variabel kan ta på, tillsammans med tillhörande sannolikheter.
- funktionen f (x) kallas en sannolikhetstäthetsfunktion för den kontinuerliga slumpvariabeln X där den totala ytan under kurvan avgränsad av x-axeln är lika med `1`. dvs.
`int_(-oo)^oo f(x)dx=1`
området under kurvan mellan två ordinater x = A och x = B är sannolikheten att X ligger mellan A och b.
`int_a^bf(x)dx=p(a<=x<=b)`
se område under en kurva i integrationsavsnittet för lite bakgrund på det här.
sannolikheter som relativ frekvens
om ett experiment utförs ett tillräckligt antal gånger, då på lång sikt kallas den relativa frekvensen för en händelse sannolikheten för att händelsen inträffar.
exempel 3
Se föregående exempel. Vikten av en burk kaffe vald är en kontinuerlig slumpmässig variabel. Följande tabell visar vikten i kg ’ 100 ’ burkar som nyligen fyllts av maskinen. Den listar de observerade värdena för den kontinuerliga slumpmässiga variabeln och deras motsvarande frekvenser.
hitta sannolikheterna för varje viktkategori.
| vikt x | antal av burkar |
|---|---|
| `0.900 – 0.925` | `1` |
| `0.925 – 0.950` | `7` |
| `0.950 – 0.975` | `25` |
| `0.975 – 1.000` | `32` |
| `1.000 – 1.025` | `30` |
| `1.025 – 1.050` | `5` | totalt | `100` |
svar
vi delar helt enkelt upp antal burkar i varje viktkategori med 100 för att ge sannolikheterna.
| Weight X | Number of Jars |
Probability P(a ≤ X < b) |
|---|---|---|
| 0.900 – 0.925 | 1 | 0.01 |
| 0.925 – 0.950 | 7 | 0.07 |
| 0.950 – 0.975 | 25 | 0.25 |
| 0.975 – 1.000 | 32 | 0.32 |
| 1.000 – 1.025 | 30 | 0.30 |
| 1.025 – 1.050 | 5 | 0.05 |
| Total | 100 | 1.00 |
förväntat värde för en slumpmässig variabel
låt X representera en diskret slumpmässig variabel med sannolikhetsfördelningsfunktionen P(X). Sedan definieras det förväntade värdet av X betecknat med E (X) eller Kubi som:
E(X) = kub = (xi-Xi p(xi))
för att beräkna detta multiplicerar vi varje möjligt värde av variabeln med dess sannolikhet och lägger sedan till resultaten.
(Xi) = {x1 (x1)) = {x2 (x2)} + {x3(x3)} + …
`E(X)` kallas också medelvärdet för sannolikhetsfördelningen.
exempel 4
I exempel 1 ovan hade vi ett experiment där vi ritade `2` bollar från en urna innehållande `4` röda och `6` svarta bollar. Vad är det förväntade antalet röda bollar?
svar
Vi har redan utarbetat sannolikheterna tidigare:
| Possible Outcome | RR | RB | BR | BB |
| xi | `2` | `1` | `1` | `0` |
| P(xi) | `2/15` | `4/15` | `4/15` | `1/3` |
`E(X)=sum{x_i * P(x_i)}`
`=2times2/15+` `1times4/15+` `1times4/15+` `0times1/3`
`=4/5`
`=0.8`
This means that if we performed this experiment 1000 times, we would expect to get 800 red balls.
exempel 5
Jag kastar en dö och får` $1 `om den visar` 1 `och får` $2 `om den visar` 2 `och får` $3 `om den visar` 3 ’ etc. Hur mycket pengar kan jag förvänta mig om jag kastar det ’ 100 ’ gånger?
svar
för ett kast är det förväntade värdet:
`E(X)=summa{x_i*P(x_i)}=1times1/6+` 2times1/6+3times1/6+ ” 4times1/6+ ” 5times1/6+ ” 6times1/6 `
`=7/2`
`=3.5`
så för 100 kast kan jag förvänta mig att få $350.
Example 6
The number of persons X, in a Singapore family chosen at random has the following probability distribution:
| X | `1` | `2` | `3` | `4` | `5` | `6` | `7` | `8` |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X) | `0.34` | `0.44` | `0.11` | `0.06` | `0.02` | `0.01` | `0.01` | `0.01` |
Find the average family size `E(X)`.
svar
`E(X)`
`=summa{x_i*P(x_i)}`
`=1times0.34+2times0.44` `+3times0.11+4times0.06` `+5times0.02+6times0.01` `+7times0.01+8times0.01`
`=2,1`
så den genomsnittliga familjestorleken är E(x) = 2,1 personer.
exempel 7
i ett kortspel med min vän betalar jag en viss summa pengar varje gång jag förlorar. Jag vinner ’$4 ’ om jag drar en jack eller en drottning och jag vinner `$5` om jag drar en kung eller ess från en vanlig förpackning med `52` spelkort. Om jag drar andra kort förlorar jag. Vad ska jag betala så att vi kommer ut jämnt? (Det vill säga spelet är ”rättvist”?)
svar
| X | J, Q (`$4`) | K, A (`$5`) | förlora (`-$x`) | P(X) | `8/52=2/13` | `2/13` | `9/13` |
`e(X)=summa{x_i * p(x_i)}`
`=4times2/13+5times2/13-Xtimes9/13`
`=frac{18-9x}{13}`
nu bör det förväntade värdet vara $0 för att spelet ska vara rättvist.
så `frac{18-9x}{13}=0` och detta ger `x=2`.
så jag skulle behöva betala ’$2 ’ för att det ska vara ett rättvist spel.
varians av en slumpmässig variabel
låt X representera en diskret slumpmässig variabel med sannolikhetsfördelningsfunktion `P(X)`. Variansen av X betecknas med `V(X) ” eller σ2 definieras som:
V(X) = σ2
= Σ
Eftersom m = E(X), (eller det genomsnittliga värdet), vi skulle också kunna skriva detta som:
V(X) = σ2
= Σ
ett Annat sätt för att beräkna variansen är:
V(X) = jacob2 = e(X2) − 2
standardavvikelse för sannolikhetsfördelningen
`sigma=sqrt(V(X)` kallas standardavvikelsen för sannolikhetsfördelningen. Standardavvikelsen är ett tal som beskriver spridningen av distributionen. Liten standardavvikelse betyder liten spridning, stor standardavvikelse betyder stor spridning.
i följande 3-distributioner har vi samma medelvärde (kub = 4), men standardavvikelsen blir större, vilket betyder att spridningen av poäng är större.
området under varje kurva är ’1’.
exempel 8
hitta `V(X)` för följande sannolikhetsfördelning:
| x | `8` | `12` | `16` | `20` | `24` |
|---|---|---|---|---|---|
| p(x) | `1/8` | `1/6` | `3/8` | `1/4` | `1/12` |
svar
Vi måste hitta `E(X)` först:
`e(x)` `=8times1/8+12times1/6` `+16times3/8+20times1/4` `+24times1/12` `=16`
sedan:
`V(X)` `=summa`
`=(8-16)^2 gånger 1/8 + (12-16)^2 gånger 1/6 ` `+ (16-16)^2 gånger 3/8 + (20-16)^2 gånger 1/4 ` `+ (24-16)^2 gånger1/12`
`=20`
kontrollera detta med den andra formel:
v(x) = e(x 2) − 2
för detta måste vi utarbeta det förväntade värdet av kvadraterna för den slumpmässiga variabeln X.
| X | `8` | `12` | `16` | `20` | `24` |
| X2 | `64` | `144` | `256` | `400` | `576` |
| P(X) | `1/8` | `1/6` | `3/8` | `1/4` | `1/12` |
`E(X^2)=sumX^2P(X)`
`=64times1/8+144times1/6+` `256times3/8+` `400times1/4+` `576times1/12`
`=276`
We found E(X) before: `E(X) = 16`
V(X) = E(X2) − 2 = 276 − 162 = 20, as before.