Concept of Random Variable

The term “statistical experiment” is used to describe any process by which several chance observations are obtained.todos os resultados possíveis de um experimento incluem um conjunto que é chamado de espaço de amostra. Estamos interessados em alguma descrição numérica do resultado.por exemplo, quando atiramos uma moeda `3` vezes, e estamos interessados no número de cabeças que caem, então um valor numérico de `0, 1, 2, 3` será atribuído a cada ponto de amostra.

os números`0`, `1`, `2`, e ” 3 ” são quantidades aleatórias determinadas pelo resultado de uma experiência.

podem ser considerados como os valores assumidos por alguma variável aleatória x, que neste caso representa o número de cabeças quando uma moeda é lançada 3 vezes.

assim poderíamos escrever x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 e x4 = 3.

definições

1. uma variável aleatória é uma variável cujo valor é determinado pelo resultado de uma experiência aleatória.

2. uma variável aleatória discreta é aquela cujo conjunto de valores assumidos é contável (surge da contagem).

3. uma variável aleatória contínua é uma variável cujo conjunto de valores assumidos é incontável (surge da medição.).

usaremos:

a capital (Caso Superior) X para a variável aleatória E

menor caso x1, x2, x3… para os valores da variável aleatória numa experiência. Estes xi representam então um evento que é um subconjunto do espaço amostral.

As probabilidades dos eventos são dadas por: P(x1), P(x2), P(x3)…

também usamos a notação ” P (X)”. Por exemplo, podemos precisar de encontrar algumas das probabilidades envolvidas quando atiramos um dado. Nós iria escrever para a probabilidade de obtenção de um “5” quando lançamos um dado, como:

`P(X=5)=1/6`

Exemplo 1 – Variável Aleatória Discreta

Duas bolas são desenhadas à toa em sucessão, sem a substituição de uma urna que contém `4` bolas vermelhas e `6` bolas pretas.

encontre as probabilidades de todos os resultados possíveis.

resposta

Exemplo 2 – variável aleatória contínua

um frasco de café é escolhido aleatoriamente a partir de um processo de enchimento no qual uma máquina automática está a encher frascos de café cada um com `1\ “kg”` de café. Devido a algumas falhas no processo automático, o peso de um jar pode variar de jar a jar na faixa `0,9\ “kg”` a `1,05\ “kg”`, excluindo este último.

Let X denote o peso de um jarro de café selecionado. Qual é o alcance de X?

Resposta

Função de Distribuição

Definições

1. Uma distribuição de probabilidades discretas é uma tabela (ou fórmula) listagem de todos os possíveis valores que uma variável discreta pode assumir, em conjunto com as probabilidades associadas.

2. a função f (x) é chamada de função de densidade de probabilidade para a variável aleatória contínua X em que a área total sob a curva delimitada pelo eixo dos x é igual a “1”. seja.

`int_(-oo)^oo f(x)dx=1`

A área sob a curva entre quaisquer duas coordenadas x = a e x = b é a probabilidade de que X está entre a e b.

`int_a^bf(x)dx=P(a<=X<=b)`

Veja a área sob uma curva na seção integração de algumas informações sobre isso.

Probabilities As Relative Frequency

If an experiment is performed a sufficient number of times, then in the long run, the relative frequency of an event is called the probability of that event occurring.

exemplo 3

Consulte o exemplo anterior. O peso de um frasco de café selecionado é uma variável aleatória contínua. O quadro seguinte indica o peso, em kg, de ” 100 ” frascos recentemente preenchidos pela máquina. Ele lista os valores observados da variável aleatória contínua e suas frequências correspondentes.

encontre as probabilidades para cada categoria de peso.

> Peso X	Número de Frascos
`0.900 – 0.925`	`1`
`0.925 – 0.950`	`7`
`0.950 – 0.975`	`25`
`0.975 – 1.000`	`32`
`de 1.000 1.025`	`30`
`1.025 – 1.050`	`5`
Total	`100`

Resposta

Valor Esperado de uma Variável Aleatória

Deixe que X representa uma variável aleatória discreta com a função de distribuição de probabilidade P(X). Em seguida, o valor esperado de X, denotada por E(X), ou µ, é definido como:

E(X) = μ = Σ (xi × P(xi))

Para calcular isso, vamos multiplicar cada valor possível da variável pela sua probabilidade, em seguida, adicionar os resultados.

Σ (xi × P(xi)) = { x1 × P(x1)} + { x2 × P(x2)} + { x3 × P(x3)} + …

`E(X)` é também chamada de média da distribuição de probabilidade.

exemplo 4

No exemplo 1 acima, tivemos um experimento em que desenhamos bolas `2` de uma urna contendo bolas `4` vermelhas e `6` pretas. Qual é o número esperado de bolas vermelhas?

resposta

exemplo 5

I throw a die and get ‘$1 `if it is showing ‘1’, and get ‘$2 ‘if it is showing ‘2’, and get `$3` if it is showing `3`, etc. Qual é a quantidade de dinheiro que eu posso esperar se eu jogar ” 100 ” vezes?

Resposta

Example 6

The number of persons X, in a Singapore family chosen at random has the following probability distribution:

Find the average family size `E(X)`.

Resposta

exemplo 7

num jogo de cartas com o meu amigo, eu pago uma certa quantidade de dinheiro cada vez que perco. Ganho $ 4 se sacar um valete ou uma rainha e ganho$5 se sacar um rei ou um ás de um maço de cartas de 52. Se eu tirar outras cartas, perco. Quanto devo pagar para sairmos daqui? (Isto é, o jogo é “justo”?)

Resposta

variância de uma variável aleatória

deixe X representar uma variável aleatória discreta com função de distribuição de probabilidade `P(X)`. A variância de X, denotada por V(X)` ou σ2 é definido como:

Desde μ = E(X), (ou valor médio), nós também poderia escrever isso como:

Outra forma de calcular a variância é:

V(X) = σ2 = E(X2) − 2

o Desvio Padrão da Distribuição de Probabilidade

`sigma=sqrt(V(X)` é o desvio padrão da distribuição de probabilidade. O desvio padrão é um número que descreve a propagação da distribuição. Pequeno desvio-padrão significa pequeno desvio, grande desvio-padrão significa grande desvio.

nas 3 distribuições seguintes, temos a mesma média (μ = 4), mas o desvio padrão torna-se maior, o que significa que a dispersão das Pontuações é maior.

a área sob cada curva é “1”.

Exemplo 8

Localizar `V(X)` para a seguinte distribuição de probabilidade:

X	`8`	`12`	`16`	`20`	`24`
P(X)	`1/8`	`1/6`	`3/8`	`1/4`	`1/12`

Resposta