11. Rozkłady prawdopodobieństwa-pojęcia
na tej stronie…
- definicje zmiennych losowych, dyskretnych i ciągłych
- funkcja dystrybucji
- prawdopodobieństwo jako częstotliwość względna
- wartość oczekiwana
- wariancja
- odchylenie standardowe
notacja
używamy dużych liter (takich jak X i Z) do oznaczania zmiennych losowych, a małych liter (takich jak x i z) do oznaczania konkretnych wartości tych zmiennych.
pojęcie zmiennej losowej
termin „eksperyment statystyczny” jest używany do opisania dowolnego procesu, w którym uzyskuje się kilka obserwacji losowych.
wszystkie możliwe wyniki eksperymentu składają się na zbiór zwany przestrzenią próbki. Interesuje nas jakiś numeryczny opis wyniku.
na przykład, gdy rzucimy monetą `3` razy i interesuje nas liczba spadających orłów, to do każdego punktu próbki zostanie przypisana wartość liczbowa `0, 1, 2, 3`.
liczby`0`, `1`, `2`, i ” 3 ” są przypadkowymi wielkościami określonymi w wyniku eksperymentu.
można je traktować jako wartości przyjęte przez jakąś zmienną losową x, która w tym przypadku reprezentuje liczbę reszek, gdy moneta jest rzucana 3 razy.
więc możemy napisać x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 i x4 = 3.
definicje
-
zmienna losowa to zmienna, której wartość zależy od wyniku eksperymentu losowego.
-
Dyskretna zmienna losowa to taka, której zbiór założonych wartości jest policzalny (powstaje z liczenia).
-
ciągła zmienna losowa to taka, której zbiór założonych wartości jest niepoliczalny (wynika z pomiaru.).
użyjemy:
dużej litery X dla zmiennej losowej i
małej litery X1, x2, x3… dla wartości zmiennej losowej w eksperymencie. Te xi reprezentują następnie zdarzenie będące podzbiorem przestrzeni próbki.
prawdopodobieństwa zdarzeń są podane przez: P(x1), P(x2), p(x3), …
używamy również notacji ” P (X)”. Na przykład, być może będziemy musieli znaleźć niektóre z prawdopodobieństw związanych z rzuceniem kostką. Dla prawdopodobieństwa uzyskania „5”, gdy rzucimy kostkę, napiszemy:
`p(X=5)=1/6`
przykład 1 – Dyskretna zmienna losowa
dwie kulki są losowane losowo, bez zastąpienia z urny zawierającej ” 4 „czerwone kulki i” 6 ” czarne kulki.
Znajdź prawdopodobieństwo wszystkich możliwych wyników.
odpowiedź
niech X oznacza liczbę czerwonych bil w wyniku.
| możliwe wyniki | RR | RB | BR | BB |
|---|---|---|---|---|
| X | 2 | 1 | 1 | 0 |
tutaj, x1 = 2, x2 = 1 , X3 = 1 , x4 = 0
teraz, prawdopodobieństwo otrzymania `2` czerwonych bil, gdy wylosujemy piłki po kolei, wynosi:
prawdopodobieństwo, że pierwsza Bila będzie czerwona `= 4/10`
prawdopodobieństwo, że druga Bila będzie czerwona czerwone „= 3/9 „(ponieważ w urnie zostały ” 3 „czerwone kulki, z całkowitej liczby” 9 ” w lewo.) So:
`p(x_1)=4/10times3/9=2/15`
podobnie, ponieważ prawdopodobieństwo, że czerwona pierwsza to `4/10`, a czarna to `6/9` (ponieważ w urnie jest jeszcze `6` czarnych kulek, a wszystkie `9` razem). Tak więc:
`p(x_2)=4/1066/9 = 4/15`
podobnie dla czerni i czerwieni:
`p(x_3)=6/10times4/9=4/15`
wreszcie dla `2` czarnych kulek:
`p(x_4)=6/10times5/9=1/3`
jako sprawdzenie, jeśli znaleźliśmy wszystkie prawdopodobieństwa, powinny one zsumować się do `1`.
`2/15 + 4/15 + 4/15 + 1/3 = 15/15 = 1`
więc znaleźliśmy je wszystkie.
przykład 2 – ciągła zmienna losowa
słoik z kawą jest wybierany losowo z procesu napełniania, w którym automatyczna maszyna napełnia słoiki z kawą „1\” kg „” kawy. Ze względu na pewne błędy w automatycznym procesie, waga słoika może się różnić od słoika w zakresie „0.9 \” kg „`do „1.05 \ „kg”`, z wyłączeniem tego ostatniego.
niech X oznacza wagę wybranego słoika z kawą. Jaki jest zakres x?
odpowiedź
możliwe wyniki: 0.9 ≤ X<1.05
to wszystko!
funkcja dystrybucji
definicje
-
dyskretny rozkład prawdopodobieństwa jest tabelą (lub formułą) zawierającą wszystkie możliwe wartości, które zmienna Dyskretna może przyjąć, wraz z powiązanymi prawdopodobieństwami.
- funkcja f(x) nazywa się funkcją gęstości prawdopodobieństwa dla ciągłej zmiennej losowej X, gdzie całkowity obszar pod krzywą ograniczoną osią x jest równy „1”. tj.
`int_(-oo)^oo f(x)dx=1`
pole pod krzywą między dowolnymi dwoma współrzędnymi x = A i x = b jest prawdopodobieństwem, że X leży między a i b.
`int_a^bf(x)DX=p(a<=x<=b)`
zobacz obszar pod krzywą w sekcji integracja dla niektórych tło tego.
prawdopodobieństwa jako względna Częstotliwość
jeśli eksperyment jest przeprowadzany wystarczającą liczbę razy, to na dłuższą metę względną częstotliwością zdarzenia nazywa się prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia.
przykład 3
patrz na poprzedni przykład. Waga wybranego słoika kawy jest ciągłą zmienną losową. W poniższej tabeli podano wagę w kg słoików ” 100 ” ostatnio napełnionych przez maszynę. Zawiera listę obserwowanych wartości ciągłej zmiennej losowej i odpowiadających im częstotliwości.
Znajdź Prawdopodobieństwo dla każdej kategorii wagowej.
| Waga X | Liczba słoików |
|---|---|
| `0.900 – 0.925` | `1` |
| `0.925 – 0.950` | `7` |
| `0, 950 – 0, 975` | `25` |
| `0, 975 – 1, 000` | `32` |
| `1, 000 – 1, 025` | `30` |
| `1.025 – 1.050` | `5` |
| Total | `100` |
odpowiedź
Po prostu dzielimy liczba słoików w każdej kategorii wagowej przez 100, aby dać prawdopodobieństwo.
| Weight X | Number of Jars |
Probability P(a ≤ X < b) |
|---|---|---|
| 0.900 – 0.925 | 1 | 0.01 |
| 0.925 – 0.950 | 7 | 0.07 |
| 0.950 – 0.975 | 25 | 0.25 |
| 0.975 – 1.000 | 32 | 0.32 |
| 1.000 – 1.025 | 30 | 0.30 |
| 1.025 – 1.050 | 5 | 0.05 |
| Total | 100 | 1.00 |
Oczekiwana wartość zmiennej losowej
niech X reprezentuje dyskretną zmienną losową z funkcją rozkładu prawdopodobieństwa P(X). Następnie wartość oczekiwana x oznaczona przez E(X) lub μ jest zdefiniowana jako:
E (X) = μ = Σ(xi × P (xi))
aby to obliczyć, mnożymy każdą możliwą wartość zmiennej przez jej Prawdopodobieństwo, a następnie dodajemy wyniki.
Σ (xi × P(xi)) = { X1 × P(x1)} + { x2 × P(x2)} + { X3 × P(x3)} + …
„E(X)” jest również nazywany średnią rozkładu prawdopodobieństwa.
przykład 4
w przykładzie 1 powyżej mieliśmy eksperyment, w którym narysowaliśmy ” 2 „kulki z urny zawierającej” 4 „czerwone i” 6 ” czarne kulki. Jaka jest oczekiwana liczba czerwonych kulek?
odpowiedź
już wcześniej obliczyliśmy prawdopodobieństwo:
| Possible Outcome | RR | RB | BR | BB |
| xi | `2` | `1` | `1` | `0` |
| P(xi) | `2/15` | `4/15` | `4/15` | `1/3` |
`E(X)=sum{x_i * P(x_i)}`
`=2times2/15+` `1times4/15+` `1times4/15+` `0times1/3`
`=4/5`
`=0.8`
This means that if we performed this experiment 1000 times, we would expect to get 800 red balls.
przykład 5
rzucam kostkę i dostaję `$1`, Jeśli pokazuje `1`, i dostaję `$2`, Jeśli pokazuje `2`, i dostaję `$3`, Jeśli pokazuje `3`, itd. Jaka jest kwota pieniędzy, której mogę się spodziewać, jeśli rzucę ją ” 100 ” razy?
odpowiedź
dla jednego rzutu wartość oczekiwana wynosi:
`E(x)=sum{x_i*p(x_i)}=1times1/6+` `2times1/6+3times1/6+` `4times1/6+` `5times1/6+` `6times1/6`
`=7/2`
`=3.5`
więc za 100 rzutów mogę liczyć na 350$.
Example 6
The number of persons X, in a Singapore family chosen at random has the following probability distribution:
| X | `1` | `2` | `3` | `4` | `5` | `6` | `7` | `8` |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X) | `0.34` | `0.44` | `0.11` | `0.06` | `0.02` | `0.01` | `0.01` | `0.01` |
Find the average family size `E(X)`.
odpowiedź
`E(X)`
`=sum{x_i*p(x_i)}`
`=1times0.34+2times0.44` `+3times0.11+4times0.06` `+5times0.02+6times0.01` `+7times0.01+8times0.01 „
„=2.1 ”
więc średnia wielkość rodziny wynosi E(x) = μ = 2.1 osób.
przykład 7
w grze karcianej z moim przyjacielem za każdym razem, gdy przegrywam, płacę określoną kwotę pieniędzy. Wygram „$4”, Jeśli wylosuję Waleta lub damę i wygram „$5”, jeśli wylosuję króla lub asa ze zwykłej paczki kart do gry „52”. Jeśli wyciągnę inne karty, przegrywam. Ile mam zapłacić, żebyśmy wyszli? (Czyli gra jest „fair”?)
odpowiedź
| X | J, Q (`$4`) | K, a (`$5`) | lose (`-$x`) |
| P(X) | `8/52=2/13` | `2/13` | `9/13` |
`e(x)=Sum{x_i * P(x_i)}`
`=4/13+5times2/13-Xtimes9/13`
`=frac{18-9x}{13}`
teraz oczekiwana wartość powinna wynosić $0, aby gra była uczciwa.
więc 'frac{18-9x}{13}=0′ i to daje 'x = 2′.
więc musiałbym zapłacić „$2”, żeby to była uczciwa gra.
wariancja zmiennej losowej
niech X reprezentuje dyskretną zmienną losową z funkcją rozkładu prawdopodobieństwa ” P(X)”. Wariancja X oznaczona jako „V(X)” lub σ2 jest zdefiniowana jako:
V(X) = σ2
= Σ
ponieważ μ = E(X), (lub wartość średnia), możemy również zapisać to jako:
V(X) = σ2
= Σ
inny sposób obliczania wartości wariancja jest:
V(X) = σ2 = e(X2) − 2
odchylenie standardowe rozkładu prawdopodobieństwa
„sigma=sqrt(V(X)” nazywa się odchyleniem standardowym rozkładu prawdopodobieństwa. Odchylenie standardowe jest liczbą opisującą rozrzut rozkładu. Małe odchylenie standardowe oznacza mały rozrzut, duże odchylenie standardowe oznacza duży rozrzut.
w kolejnych 3 rozkładach mamy tę samą średnią (μ = 4), ale odchylenie standardowe staje się większe, co oznacza, że rozkład wyników jest większy.
pole pod każdą krzywą to `1`.
przykład 8
Znajdź `V(X)` dla następującego rozkładu prawdopodobieństwa:
| X | `8` | `12` | `16` | `20` | `24` |
|---|---|---|---|---|---|
| P(X) | `1/8` | `1/6` | `3/8` | `1/4` | `1/12` |
odpowiedź
najpierw musimy znaleźć `E(X)`:
`E(x)` `=8times1/8+12times1/6` `+16times3/8+20times1/4` `+24times1/12` `=16`
następnie:
`V(X)` `=SUMA`
`=(8-16)^2 razy 1/8 + (12-16)^2 razy 1/6 ` `+ (16-16)^2 razy 3/8 + (20-16)^2 razy 1/4 ` `+ (24-16)^2 razy 1/12`
`=20`
sprawdzanie tego przy użyciu innych wzór:
V(x) = E(x 2) − 2
w tym celu musimy obliczyć wartość oczekiwaną kwadratów zmiennej losowej X.
| X | `8` | `12` | `16` | `20` | `24` |
| X2 | `64` | `144` | `256` | `400` | `576` |
| P(X) | `1/8` | `1/6` | `3/8` | `1/4` | `1/12` |
`E(X^2)=sumX^2P(X)`
`=64times1/8+144times1/6+` `256times3/8+` `400times1/4+` `576times1/12`
`=276`
We found E(X) before: `E(X) = 16`
V(X) = E(X2) − 2 = 276 − 162 = 20, as before.