개념의 임의 변수

용어”통계적 실험”를 설명하는 데 사용되는 모든 프로세스는 여러 기회가 관찰을 얻을 수 있습니다.

실험의 가능한 모든 결과는 샘플 공간이라고하는 세트를 구성합니다. 우리는 결과에 대한 몇 가지 수치 설명에 관심이 있습니다.

경우,예를 들어 우리 동전 던지기`3`시간,그리고 우리가 관심이 있는 숫자의 머리는 가을,그 다음 숫자 값이`0,1,2,3`에 할당됩니다 각 샘플점이다.

숫자`0`, `1`, `2`, 그리고`3’은 실험 결과에 의해 결정되는 무작위 양입니다.

그들은 생각할 수 있습니다 값으로 간주하여 어떤 임의의 변 x,이 경우의 수를 나타냅 때 머리를 동전 던지 3 시간. 따라서 x1=0,x2=1,x3=2 및 x4=3 을 쓸 수 있습니다.

정의

1. 임의의 변수는 변수 값의 결과에 의해 결정되는 임의의 실험이다.

2. 이산 임의의 변수 중 하나의 세트의 가정 값산(에서 발생한 계산).

3. 연속 랜덤 변수는 가정 된 값 집합이 셀 수없는 변수(측정에서 발생합니다.).

우리는 다음을 사용한다:

임의의 변수에 대한 자본(대문자)X 와

소문자 x1,x2,x3… 실험에서 랜덤 변수의 값에 대해. 그런 다음 이러한 xi 는 샘플 공간의 하위 집합 인 이벤트를 나타냅니다.이 경우 두 개의 행이 서로 다른 행으로 나뉘며 각 행은 서로 다른 행으로 나뉩니다…

우리는 또한 표기법`P(X)`를 사용합니다. 예를 들어,우리는 다이를 던질 때 관련된 확률 중 일부를 찾아야 할 수도 있습니다. 우리는 것이 작성한 확률을 얻기의”5″우리는 롤으로 죽습니다:

`P(X=5)=1/6`

를 들어 1-개별 랜덤변수

두 개의 공작에 연속으로 교체없이에서 항아리를 포함하는`4`붉은 볼을 그리고`6`까만 공입니다.가능한 모든 결과의 확률을 찾으십시오.

대답

하자 X 는 결과의 빨간 공의 수를 나타냅니다.

가능한 결과	RR	RB	BR	BB
X	2	1	1	0

여기에,x1=2,x2=1,x3=1,x4=0

이제,확률을 얻기의`2`붉은 볼 때 우리는 그 공을 한 번에 하나입니다:

확률의 첫 번째 공 되는 붉은`=4/10`

확률의 두 번째 공 되는 붉은`=3/9`(이 있기 때문에`3`빨간 공을 왼쪽에서 항아리,총`9`공 떠났다.)그래서:

`P(x_1)=4/10times3/9=2/15`

마찬가지로,에 대한의 확률 레드 첫 번째는`4/10`블랙은`6/9`(이 있기 때문에`6`검은 공직에서 항아리와`9`공을 모두 함께). 그래서:

`P(x_2)=4/10times6/9=4/15

마찬가지로 흑인에 대한 다음 빨간색:

`P(x_3)=6/10times4/9=4/15

마지막으로,`2`공 블랙:

`P(x_4)=6/10times5/9=1/3`

으로 확인,우리가 발견되는 모든 확률,그때까지 추가해야하는`1`.

`2/15 + 4/15 + 4/15 + 1/3 = 15/15 = 1`

그래서 우리가 발견한다.

예제 2-지속 무작위 변수

커피의 항아리가 선택에서 무작위로 채우는 과정에서는 자동 기계가 채우는 커피 단지 각을 가진`1\”kg”`커피입니다. 때문에 일부 오류를 자동적인 프로세스의 무게는 항아리에서 달라질 수 있습 jar jar 범위에서`0.9\”kg”`에서`1.05\”kg”`제외하고,후자입니다.

하자 X 선택한 커피 항아리의 무게를 나타냅니다. X 의 범위는 무엇입니까?가능한 결과:0.9≤X<1.05

그게 전부입니다!

배포 기능

정의

1. 이산 확률 분포는 테이블(또는 수식)목록 가능한 모든 값을 불연속 변수에 걸릴 수 있습니다,함께 관련 확률.

2. 기능을 f(x)라고 확률 밀도 함수에 대한 지속적인 임의의 변 X 총 지역에서 곡선에 의해 제한된 x-axis 동등하다`1`. 즉

`int_(-oo)^oo f(x)dx=1`

지역 곡선 아래 사이에 두 개의 좌표 x=a x=b 확률×사이에있는 그리고 b.

`int_a^bf(x)dx=P(a<=X<=b)`

을 참조하십시오 지역에서 곡선에 통합 섹션에 대한 약간의 배경이다.

확률이 상대적으로 주파수

경우는 실험이 수행되는 충분한 횟수,후에,상대적으로 주파수의 이벤트라고 확률이 해당 이벤트의 발생합니다.

실시예 3

앞의 예를 참조한다. 선택한 커피 한 병의 무게는 연속적인 무작위 변수입니다. 다음 표는 최근에 기계에 의해 채워진`100`항아리의 kg 에 무게를 제공합니다. 연속 랜덤 변수의 관찰 된 값과 해당 주파수를 나열합니다.

각 체중 카테고리의 확률을 찾습니다.

체중 X	번호 의 병
`0.900-0.925`	`1`
`0.925-0.950`	`7`
`0.950-0.975`	`25`
`0.975-1.000`	`32`
`1.000-1.025`	`30`
`1.025- 1.050`	`5`
Total	`100`

대답

우리는 단순히 나눌 수의 항아리에서 각각의 중량 범주에 의해 100 을 줄 가능성이다.

Weight X	Number of Jars	Probability P(a ≤ X < b)
0.900 – 0.925	1	0.01
0.925 – 0.950	7	0.07
0.950 – 0.975	25	0.25
0.975 – 1.000	32	0.32
1.000 – 1.025	30	0.30
1.025 – 1.050	5	0.05
Total	100	1.00

예상의 가치를 임의로 변

자 X 을 나타내는 개별 랜덤변수 확률분포함수 P(X) 다음 예 X 의 값으로 표시(X),또는 μ,다음과 같이 정의됩니다.

E(X)=μ=Σ(xi×P(xi))

을 계산하이 배가되는 각각의 가능한 변수 값에 의해 확률을 추가,결과입니다.

Σ(xi×P(xi))={x1×P(x1)}+{x2×P(x2)}+{x3×P(x3)}+…

`E(X)`는 확률 분포의 평균이라고도합니다.

실시예 4

위의 실시예 1 에서,우리는`4`적색 및`6`흑색 볼을 포함하는 항아리로부터`2`볼을 그린 실험을 하였다. 빨간 공의 예상 수는 얼마입니까?

대답

우리는 이미 일을 확률을 하기 전에:

Possible Outcome	RR	RB	BR	BB
xi	`2`	`1`	`1`	`0`
P(xi)	`2/15`	`4/15`	`4/15`	`1/3`

`E(X)=sum{x_i * P(x_i)}`

`=2times2/15+` `1times4/15+` `1times4/15+` `0times1/3`

`=4/5`

`=0.8`

This means that if we performed this experiment 1000 times, we would expect to get 800 red balls.

예제 5

나는 다이를 던지고`1`을 표시하면`$1`을 얻고,`2`를 표시하면`$2`를 얻고,`3`을 표시하면`$3`을 얻는다. 내가’100’번 던지면 기대할 수있는 금액은 얼마입니까?

대답

중 하나 던지,예상한 값은 다음과 같습니다.

`E(X)=sum{x_i*P(x_i)}=1times1/6+“2times1/6+3times1/6+“4times1/6+“5times1/6+“6times1/6`

`=7/2`

`=3.5`

그래서 100 가 발생,내가 할 수 있습을 얻을 것으로 예상$350.

Example 6

The number of persons X, in a Singapore family chosen at random has the following probability distribution:

X	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`
P(X)	`0.34`	`0.44`	`0.11`	`0.06`	`0.02`	`0.01`	`0.01`	`0.01`

Find the average family size `E(X)`.

대답

`E(X)`

`=sum{x_i*P(x_i)}

`=1times0.34+2times0.44“+3times0.11+4times0.06“+5times0.02+6times0.01“+7times0.01+8times0.01`

`=2.1`

므로 평균 가족의 크기는 E(X)=μ=2.1 사람들이다.

예 7

내 친구와의 카드 게임에서 잃을 때마다 일정 금액을 지불합니다. 나는 잭이나 여왕을 그리면`$4`를 이기고`52`카드 놀이의 일반 팩에서 왕이나 에이스를 그리면`$5`를 얻습니다. 다른 카드를 뽑으면 잃게됩니다. 우리가 심지어 나올 수 있도록 무엇을 지불해야합니까? (즉,게임은”공정한”것입니까?)

대답

X	J,Q(`$4`)	K,A(는`5`)	을 잃(`-$x`)
P(X)	`8/52=2/13`	`2/13`	`9/13`

`E(X)=sum{x_i*P(x_i)}`

`=4times2/13+5times2/13-xtimes9/13`

`=frac{18-9x}{13}`

이제 예상되는 가치해야$0 한 게임이에 있습니다.이 경우 두 가지 방법이 있습니다.그래서 공정한 게임이 되려면’$2’를 지불해야합니다.

랜덤 변수의 분산

X 가 확률 분포 함수`P(X)`를 갖는 이산 랜덤 변수를 나타내도록하십시오. 의 분산 X 으로 표시`V(X)`또는 σ2 은 다음과 같이 정의됩니다.

V(X)=σ2

=Σ

이후 μ=E(X),(또는 평균값),우리가 할 수도이다.

V(X) =σ2

=Σ

또 다른 방법으로의 계산 차이가:

V(X)=σ2=E(X2)−2

의 표준 편차 확률 분포

`sigma=sqrt(V(X)`이라는 표준 편차 확률 분포입니다. 표준 편차는 분포의 확산을 설명하는 숫자입니다. 작은 표준 편차는 작은 확산을 의미하고 큰 표준 편차는 큰 확산을 의미합니다.

다음의 3 가지 분포에서 우리는 동일한 평균(μ=4)을 갖지만 표준 편차가 커지면 점수의 확산이 더 커짐을 의미합니다.

각 곡선 아래의 면적은’1’입니다.

를 들어 8

찾`V(X)`를 위해 다음과 같은 확률 분포:

X	`8`	`12`	`16`	`20`	`24`
P(X)	`1/8`	`1/6`	`3/8`	`1/4`	`1/12`

대답

우리는 우리를 찾을 수 있`E(X)`첫:

`E(X)“=8times1/8+12times1/6“+16times3/8+20times1/4“+24times1/12“=16`

다음:

`V(X)“은=`

`=(8-16)^2 번 1/8+(12-16)^2 번 1/6“+(16-16)^2 번 3/8+(20-16)^2 번 1/4“+(24-16)^2times1/12`

`=20`

이를 사용하는 다른 공식:

V(X)=E(X2)−2

이를 위해,우리가 필요한 작업으로 예상되는 가치는 사각형의 임의 변 X

X	`8`	`12`	`16`	`20`	`24`
X2	`64`	`144`	`256`	`400`	`576`
P(X)	`1/8`	`1/6`	`3/8`	`1/4`	`1/12`

`E(X^2)=sumX^2P(X)`

`=64times1/8+144times1/6+` `256times3/8+` `400times1/4+` `576times1/12`

`=276`

We found E(X) before: `E(X) = 16`

V(X) = E(X2) − 2 = 276 − 162 = 20, as before.