確率変数の概念

“統計的実験”という用語は、いくつかの偶然の観測が得られるプロセスを記述するために使用されます。

実験のすべての可能な結果は、サンプル空間と呼ばれるセットを構成します。

実験のすべての可能な結果は、サンプル空間と呼ばれるセット 我々は、結果のいくつかの数値的な記述に興味があります。

たとえば、コインを”3″回投げ、落ちるヘッドの数に興味がある場合、`0,1,2,3`の数値が各サンプルポイントに割り当てられます。

数字は

`0`, `1`, `2`, そして`3’は、実験の結果によって決定されるランダムな量です。

これらは、いくつかの確率変数xによって仮定される値と考えることができ、この場合、コインが3回投げられたときの頭の数を表します。 したがって、x1=0、x2=1、x3=2、x4=3と書くことができます。

定義

1. 確率変数は、その値がランダムな実験の結果によって決定される変数です。

2. 離散確率変数とは、仮定された値の集合が可算である（カウントから生じる）変数です。

3. 連続確率変数とは、仮定された値の集合が数えられない（測定から生じる）変数のことです。).

以下を使用します。

確率変数には大文字のX、小文字のx1、x2、x3を使用します。

.. 実験における確率変数の値について。 これらのxiは、標本空間のサブセットであるイベントを表します。イベントの確率は、P（x1）、P（x2）、P（x3）で与えられます。..また、`P(X)’という表記も使用します。 たとえば、金型を投げるときに関係する確率のいくつかを見つける必要があるかもしれません。 ダイスを転がしたときに”5″を得る確率については、次のように記述します。

`P(X=5)=1/6`

例1-離散確率変数

二つのボールは、”4″赤いボールと”6″黒を含む壷から置換することなく、連続してランダムに描かれている。ボールだすべての可能な結果の確率を求めます。

答え

Xが結果の赤いボールの数を示すとします。

答え

Xは結果の赤いボールの数を示します。tr>

X X X X X X X X X X X X X X X X x x x x x x x x x x x x x x x

ここで、x1=2、x2=1、x3=1、x4=0

今、私たちは一度にボールを引き出すときに”2″赤いボールを得る確率は次のとおりです。

最初のボールが赤である確率`=4/10`

第二のボールが赤である確率`=3/9`（骨壷に残っている”3″赤いボールがあるため）

第一のボールが赤である確率`=4/10`

第二のボールが赤である確率`=3/9`（骨壷に残っている”3″赤いボールがあるため、残り9球のうち。）だから: 同様に、赤の最初の確率は`4/10`であり、黒が続く確率は`6/9`です（骨壷にはまだ`6`の黒いボールがあり、`9`のボールがすべて一緒にあるため）。

`p(x_2)=4/10times6/9=4/15′

同様に黒と赤の場合：

`P(x_3)=6/10times6/9=4/15′

`p(x_3)=6/10times6/9=4/15′

同様に黒と赤の場合：

10times4/9=4/15`

最後に、`2`黒いボールのために: チェックとして、すべての確率が見つかった場合、それらは「1」まで加算されます。

`P（x_4）=6/10times5/9=1/3′

`2/15 + 4/15 + 4/15 + 1/3 = 15/15 = 1`

だから我々はそれらすべてを発見しました。

例2-連続確率変数

コーヒーの瓶は、自動機械がコーヒーの瓶にそれぞれ”1\”kg””のコーヒーを充填している充填プロセスからランダムに選択されます。 自動プロセスのいくつかの欠陥のために、瓶の重量は、後者を除いて、`0.9\”kg”`から`1.05\”kg”`の範囲で瓶ごとに異なる可能性があります。

Xが選択されたコーヒーの瓶の重量を示すとします。

Xの範囲は何ですか？

答え

考えられる結果：0.9≤X<1.05

それだけです！

分布関数

定義

1. 離散確率分布は、離散変数が取ることができるすべての可能な値を、関連する確率とともにリストするテーブル（または式）関数f(x)は、x軸で囲まれた曲線の下の総面積が`1`に等しい連続確率変数Xの確率密度関数と呼ばれます。

2. 関数f(x)は、x軸で囲まれた曲線の下の総面積が’1’に等しい連続確率変数Xの確率密度関数と呼ばれます。 すなわちp>`int_(-oo)^oo f(x)dx=1`

任意の二つの縦軸x=aとx=bの間の曲線の下の領域は、Xがaとbの間にある確率です。

`int_(-oo)^oo f(x)dx=1`

この上のいくつかの背景については、積分のセクションで曲線の下の領域を参照してください。

相対頻度としての確率

実験が十分な回数実行された場合、長期的には、イベントの相対頻度は、そのイベントが発生する確率と呼ばれます。

例3

前の例を参照してください。 選択されたコーヒーの瓶の重さは、連続確率変数です。 次のテーブルは最近機械によって満ちている”100つの”瓶のkgの重量を与える。 これは、連続確率変数の観測値とそれに対応する周波数を一覧表示します。

各重みカテゴリの確率を求めます。 Tr>

`0.925-0.950` `0.925-0.950` `0.925-0.950` `7` `0.925-0.950` `0.925-0.950` `0.925-0.950` `0.925-0.950` `0.925-0.950` `0.925-0.950`tr> `0.950-0.975` `25` `0.975-1.000` ’32’ ‘1.000-1.025’ ’30’ ’30’ ’30’ ’30’ ’30’ ’30’ ’30’ ‘1.025-1.050’ ‘5’ 合計 ‘100’

回答

確率を与えるために、各ウェイトカテゴリのjarの数を100で除算します。

Weight X	Number of Jars	Probability P(a ≤ X < b)
0.900 – 0.925	1	0.01
0.925 – 0.950	7	0.07
0.950 – 0.975	25	0.25
0.975 – 1.000	32	0.32
1.000 – 1.025	30	0.30
1.025 – 1.050	5	0.05
Total	100	1.00

確率変数の期待値

Xが確率分布関数P(X)を持つ離散確率変数を表すとします。 次に、E(X)またはμで表されるXの期待値は、次のように定義されます。

E(X)=μ=Μ(xi×P(xi))

これを計算するには、変数の各可能な値にその確率を掛け、結果を加算します。Σ P={x1×P（x1）}+{x2×p（x2）}+{x3×P（x3）}+。..

`E(X)’は確率分布の平均とも呼ばれます。

例4

上記の例1では、”4″の赤と”6″の黒のボールを含む壷から”2″のボールを描いた実験がありました。 予想される赤いボールの数は何ですか？

答え

私たちはすでに前に確率を計算しました:

Possible Outcome	RR	RB	BR	BB
xi	`2`	`1`	`1`	`0`
P(xi)	`2/15`	`4/15`	`4/15`	`1/3`

`E(X)=sum{x_i * P(x_i)}`

`=2times2/15+` `1times4/15+` `1times4/15+` `0times1/3`

`=4/5`

`=0.8`

This means that if we performed this experiment 1000 times, we would expect to get 800 red balls.私はダイスを投げて`1`を表示している場合は`$1`を取得し、`2`を表示している場合は`2 2`を取得し、`3`を表示している場合は`$3`を取得します。 私はそれを”100″回投げた場合、私は期待できるお金の量は何ですか？1回のスローの場合、期待値は次のとおりです。

`E(X)=sum{x_i*P(x_i)}=1times1/6+“2times1/6+3times1/6+“4times1/6+“5times1/6+“6times1/6`

`=7/2`

したがって、100回のスローでは、get350を得ることが期待できます。

Example 6

The number of persons X, in a Singapore family chosen at random has the following probability distribution:

X	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`
P(X)	`0.34`	`0.44`	`0.11`	`0.06`	`0.02`	`0.01`	`0.01`	`0.01`

Find the average family size `E(X)`.1times0.34+2times0.44“+3times0.11+4times0.06“+5times0.02+6times0.01“+7times0.01+8times0.01`したがって、平均家族サイズはe（x）=ε=2.1人です。

例7

私の友人とのカードゲームでは、私は失うたびに一定の金額を支払います。 私はジャックや女王を描く場合、私は”$4″を獲得し、私は”52″トランプの通常のパックから王やエースを描く場合、私は”$5″を獲得します。 私は他のカードを引く場合、私は失われます。 私たちも出てくるように私は何を支払う必要がありますか？ （つまり、ゲームは”公正”ですか？/td>

`e(X)=sum{x_i*p(x_i)}`

`=4times2/13+5times2/13-xtimes9/13`

`=frac{18-9x}{13}`

ゲームが公正であるためには、期待値は$0にする必要があります。したがって、’frac{18-9x}{13}=0`となり、これは`x=2`を与えます。だから私はそれが公正なゲームであるために`$2`を支払う必要があります。

確率変数の分散

Xが確率分布関数`P(X)’を持つ離散確率変数を表すとします。 Xの分散によって示される”V(X)`またはσ2のように定義されている。

V(X)=σ2

=Σ

ただし、μ=E(X),(または平均値）したように記述することもできますこと。

V(X) =σ2

=Σ

のもう一つの方法で算出の分散が:

V(X)=λ2=E(X2)−2

確率分布の標準偏差

`sigma=sqrt(v(X)`は確率分布の標準偏差と呼ばれます。 標準偏差は、分布の広がりを表す数値です。 小さな標準偏差は小さな広がりを意味し、大きな標準偏差は大きな広がりを意味します。

次の3つの分布では、同じ平均（λ=4）がありますが、標準偏差が大きくなり、スコアの広がりが大きくなります。

次の3つの分布では、同じ平均（λ=4）があります。

各曲線の下の面積は`1`です。

例8

次の確率分布について`V(X)`を見つける：

tr>

答え

最初に’e(x)’を見つけなければなりません。

X	`8`	`12`	`16`	`20`	`24`	`24`	`24`	`24`	`24`	`24`	`24`	`24`	`24`	`24`	`24`	`24`	’24’	p(x)	‘1/8’	‘1/6’	‘3/8’	‘1/4’	‘1/12’

答え

最初に’e(x)’を見つけなければなりません。

最初に’e(x)’を見つけなければなりません。

‘e(x)’を見つけなければなりません。 ‘e(x)’を見つけなければなりません。 ‘e(x)’/p>

‘e(x)”=8times1/8+12times1/6”+16times3/8+20times1/4”+24times1/12”=16’

then:

`V(X)“=sum`

`=(8−16)^2回1/8+(12-16)^2回1/6“+(16-16)^2回3/8+(20-16)^2回1/4“+(24-16)^2回1/12`

`=20`

他の式を使用してこれを確認します。

‘=20’

このためには、確率変数Xの二乗の期待値を計算する必要があります。

X	`8`	`12`	`16`	`20`	`24`
X2	`64`	`144`	`256`	`400`	`576`
P(X)	`1/8`	`1/6`	`3/8`	`1/4`	`1/12`

`E(X^2)=sumX^2P(X)`

`=64times1/8+144times1/6+` `256times3/8+` `400times1/4+` `576times1/12`

`=276`

We found E(X) before: `E(X) = 16`

V(X) = E(X2) − 2 = 276 − 162 = 20, as before.