A véletlenszerű változó fogalma

a “statisztikai kísérlet” kifejezést minden olyan folyamat leírására használják, amellyel több véletlen megfigyelést kapnak.

a kísérlet minden lehetséges kimenetele tartalmaz egy készletet, amelyet mintaterületnek neveznek. Érdekel az eredmény néhány numerikus leírása.

például amikor ” 3 “- szor dobunk egy érmét, és érdekel a leeső fejek száma, akkor minden mintaponthoz egy “0, 1, 2, 3” numerikus értéket rendelünk.

a számok`0`, `1`, `2`, a ” 3 ” pedig véletlenszerű mennyiségek, amelyeket egy kísérlet eredménye határoz meg.

úgy gondolhatók, mint az X véletlenszerű változó által feltételezett értékek, amelyek ebben az esetben a fejek számát jelentik, amikor egy érmét 3-szor dobnak.

így írhatnánk x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 és x4 = 3.

definíciók

1. a véletlen változó olyan változó, amelynek értékét egy véletlenszerű kísérlet eredménye határozza meg.

2. a diszkrét véletlen változó olyan, amelynek feltételezett értékei megszámlálhatók (a számlálásból erednek).

3. a folyamatos véletlenszerű változó olyan, amelynek feltételezett értékei megszámlálhatatlanok (a mérésből erednek.).

használjuk:

a capital (upper case) X a random változóhoz és

alsó eset x1, x2, x3… az értékek a véletlen változó egy kísérletben. Ezek a xi ezután olyan eseményt jelentenek, amely a mintaterület egy részhalmaza.

az események valószínűségeit a következők adják: P(x1), P(x2), P(x3), …

A “P(X)” jelölést is használjuk. Például, lehet, hogy meg kell találni néhány valószínűségek részt, ha dobunk egy die. Írnánk a valószínűsége, hogy egy “5”, amikor dobunk egy kocka, mint:

`p (X=5)=1/6 ‘

példa 1-diszkrét véletlen változó

két golyó véletlenszerűen egymás után, anélkül, hogy a csere egy urn tartalmazó ” 4 “piros golyó, és’ 6 ‘ fekete golyó.

keresse meg az összes lehetséges eredmény valószínűségét.

válasz

2. példa-folyamatos véletlenszerű változó

egy üveg kávét véletlenszerűen választanak ki egy töltési folyamatból,amelyben egy automata gép “1\” kg ” kávésüvegeket tölt be. Az automatikus folyamat bizonyos hibái miatt az edény súlya üvegenként változhat “0,9\” kg “” – tól “1,05\” kg “- ig”, kivéve az utóbbit.

hagyja, hogy X jelölje meg a kiválasztott kávé üvegének súlyát. Mi az X tartománya?

válasz

Eloszlás Függvény

Meghatározások

1. Egy diszkrét valószínűségi eloszlás egy tábla (vagy tápszer) felsorolja az összes lehetséges értékek egy diszkrét változó lehet venni, valamint a kapcsolódó valószínűségekkel.

2. az f(x) függvényt valószínűségi sűrűségfüggvénynek nevezzük az X folyamatos véletlen változóhoz, ahol az x-tengely által határolt görbe alatti teljes terület egyenlő ” 1 ” -vel. azaz.

`int_(-oo)^oo f(x)dx=1`

A görbe alatti terület között két koordinátái x = a, x = b a valószínűsége, hogy X hazugság között, valamint b.

`int_a^bf(x)dx=P (<=X<=b)`

Lásd alatti terület egy görbe az integrációs szakasz valami a háttérben.

valószínűségek relatív Gyakoriságként

Ha egy kísérletet elegendő számú alkalommal hajtanak végre, akkor hosszú távon az esemény relatív gyakoriságát az esemény bekövetkezésének valószínűségének nevezik.

3. példa

Lásd az előző példát. A kiválasztott kávésüveg súlya folyamatos véletlenszerű változó. Az alábbi táblázat A gép által nemrégiben töltött ” 100 ” üvegek tömegét adja meg kg-ban. Felsorolja a folyamatos random változó megfigyelt értékeit és azok megfelelő frekvenciáit.

keresse meg az egyes súlykategóriák valószínűségeit.

> Tömege X	Szám a bögre
`0.900 – 0.925`	`1`
`0.925 – 0.950`	`7`
`0.950 – 0.975`	`25`
`0.975 – 1.000`	`32`
`1.000 – 1.025`	`30`
`1.025 – 1.050`	`5`
Teljes	`100`

Válasz

véletlenszerű változó várható értéke

let X egy diszkrét véletlen változót ábrázol a P(X) valószínűségi eloszlási funkcióval. Ezután az X várható értékét E(X) vagy μ jelöli:

e(X) = μ = Σ (xi × p(xi))

ennek kiszámításához megszorozzuk a változó minden lehetséges értékét annak valószínűségével, majd hozzáadjuk az eredményeket.

Σ (xi × p (xi)) = {x1 × P(x1)} + { x2 × P (x2)} + { x3 × P (x3)}+…

“E(X)” a valószínűségi eloszlás átlagának is nevezik.

4. példa

a fenti 1. példában volt egy kísérletünk, ahol ” 2 “golyót rajzoltunk egy” 4 “piros és” 6 ” fekete golyót tartalmazó urnából. Mi a vörös golyók várható száma?

válasz

példa 5

dobok egy kockát, és kapok `$1 ‘ – t, ha `1` – et mutat, és kap `$2` – t, ha `2` – t mutat, és kap `$3` – t, ha `3` – t mutat, stb. Mekkora összegre számíthatok, ha 100-szor dobom?

Válasz

Example 6

The number of persons X, in a Singapore family chosen at random has the following probability distribution:

Find the average family size `E(X)`.

válasz

7. példa

egy kártyajátékban a barátommal, minden alkalommal fizetek egy bizonyos összeget, amikor elveszítem. Nyerek `$4 ‘Ha rajzolok egy jack vagy egy királynő és nyerek `$5’ ha rajzolok egy király vagy ász egy közönséges csomag ” 52 ” játékkártya. Ha más kártyákat rajzolok, veszítek. Mit kell fizetnem, hogy kijöjjünk? (Vagyis a játék “tisztességes”?)

Válasz

véletlenszerű változó varianciája

let X egy diszkrét véletlen változót ábrázol, amelynek valószínűségi eloszlási funkciója ” P (X)”` A variancia X jelöli `V(X)` vagy σ2 meghatározása:

Mivel a μ = E(X), (vagy az átlagos érték), akkor is írni, mint:

egy Másik számítási módja a különbség:

v(X) = σ2 = E(X2) − 2

A valószínűségi eloszlás szórása

`sigma=sqrt(V(X)` a valószínűségi eloszlás szórása. A szórás olyan szám, amely leírja az eloszlás terjedését. A kis szórás kis szórást jelent, a nagy szórás nagy szórást jelent.

a következő 3 eloszlásban ugyanaz az átlag (μ = 4), de a szórás nagyobb lesz, ami azt jelenti, hogy a pontszámok terjedése nagyobb.

az egyes görbék alatti terület “1”.

8. Példa

Keresés `V(X)` a következő valószínűségi eloszlás:

X	`8`	`12`	`16`	`20`	a ” 24 ”
P(X)	`1/8`	`1/6`	`3/8`	`1/4`	`1/12`

Válasz