11. Todennäköisyysjakaumat-käsitteet
tällä sivulla…
- satunnaisten, diskreettien ja jatkuvien muuttujien määritelmät
- todennäköisyydet suhteellisena yleisyytenä
- odotusarvo
- varianssi
- keskihajonta
Jakaumafunktio
notaatio
käytämme suuraakkosmuuttujia (kuten X ja Z) kuvaamaan satunnaismuuttujia ja pienaakkosmuuttujia (kuten x ja z) kuvaamaan näiden muuttujien erityisarvoja.
satunnaismuuttujan käsite
termiä ”tilastollinen koe” käytetään kuvaamaan mitä tahansa prosessia, jolla saadaan useita sattumanvaraisia havaintoja.
kaikki kokeen mahdolliset tulokset muodostavat joukon, jota kutsutaan otosavaruudeksi. Meitä kiinnostaa jokin numeerinen kuvaus lopputuloksesta.
esimerkiksi, kun heitämme kolikkoa ” 3 ”kertaa ja meitä kiinnostaa putoavien päiden lukumäärä, niin jokaiselle näytepisteelle annetaan numeerinen arvo ”0, 1, 2, 3”.
numerot`0`, `1`, `2`, ja ” 3 ” ovat satunnaisia suureita, jotka määritetään kokeen tuloksen perusteella.
niitä voidaan pitää jonkin satunnaismuuttujan x olettamina arvoina, mikä tässä tapauksessa kuvaa päiden lukumäärää, kun kolikkoa heitetään 3 kertaa.
joten voisimme kirjoittaa x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 ja x4 = 3.
määritelmät
-
satunnaismuuttuja on muuttuja, jonka arvo määräytyy satunnaiskokeen tuloksen perusteella.
-
diskreetti satunnaismuuttuja on sellainen, jonka oletettujen arvojen joukko on laskettavissa (syntyy laskemisesta).
-
jatkuva satunnaismuuttuja on sellainen, jonka oletettujen arvojen joukko on laskematon (syntyy mittauksesta.).
käytetään:
satunnaismuuttujalle isolla kirjaimella X ja
pienemmällä kirjaimella x1, x2, x3… satunnaismuuttujan arvot kokeessa. Nämä xi edustavat tällöin tapahtumaa, joka on otosavaruuden osajoukko.
tapahtumien todennäköisyydet saadaan seuraavasti: P(x1), P(x2), P(x3), …
käytetään myös merkintää ” P(X)”. Meidän on ehkä esimerkiksi löydettävä joitakin siihen liittyviä todennäköisyyksiä, kun heitämme kuolainta. Kirjoittaisimme todennäköisyydelle saada ”5”, kun heitämme die:
”P(X=5)=1/6”
Esimerkki 1 – diskreetti satunnaismuuttuja
kaksi palloa arvotaan sattumanvaraisesti peräkkäin ilman korvaamista uurnasta, joka sisältää ” 4 ”punaisia palloja ja” 6 ” mustat pallot.
Etsi kaikkien mahdollisten lopputulosten todennäköisyydet.
vastaus
Merkitköön X tuloksen punaisten pallojen määrää.
| mahdolliset lopputulokset | RR | RB | BR | BB |
|---|---|---|---|---|
| X | 2 | 1 | 1 | 0 |
täällä, x1 = 2, x2 = 1 , X3 = 1 , x4 = 0
nyt todennäköisyys saada ” 2 ”punaista palloa, kun arvomme pallot yksi kerrallaan on:
todennäköisyys, että ensimmäinen pallo on punainen ”= 4/10 ”
todennäköisyys, että toinen pallo on punainen ` = 3/9` (koska uurnassa on ” 3 ”punaista palloa jäljellä, yhteensä” 9 ” palloa jäljellä.) Niin:
”P(x_1)=4/10times3/9=2/15”
samoin, sillä todennäköisyydellä punainen ensin on ”4/10″ ja musta on ” 6/9 ”(koska uurnassa on vielä ” 6 ”mustaa palloa ja” 9 ” palloja kaikki yhdessä). Niin:
”P(x_2)=4/10times6/9 = 4/15”
vastaavasti musta sitten punainen:
”P(x_3)=6/10times4/9=4/15”
lopulta ” 2 ” mustalle pallolle:
”P(x_4)=6/10times5/9=1/3”
tarkistuksena, jos olemme löytäneet kaikki todennäköisyydet, niiden pitäisi laskea yhteen ”1”.
`2/15 + 4/15 + 4/15 + 1/3 = 15/15 = 1`
joten olemme löytäneet ne kaikki.
Esimerkki 2 – jatkuva satunnaismuuttuja
kahvipurkki poimitaan sattumanvaraisesti täyttöprosessista, jossa automaattikone täyttää kahvipurkkeja, joissa kussakin on ”1\” kg ” kahvia. Joidenkin automaattiprosessin vikojen vuoksi purkin paino voi vaihdella purkista toiseen alueella ”0.9\” kg ”`1.05\” kg”`, jälkimmäistä lukuun ottamatta.
Merkitköön X valitun kahvipurkin paino. Mikä on alue X?
vastaus
mahdolliset lopputulokset: 0,9 ≤ x < 1,05
That ’ s all there is to it!
Jakaumafunktio
määritelmät
-
diskreetti todennäköisyysjakauma on taulukko (tai kaava), jossa luetellaan kaikki mahdolliset arvot, jotka diskreetti muuttuja voi ottaa, sekä niihin liittyvät todennäköisyydet.
- funktiota f(x) kutsutaan jatkuvan satunnaismuuttujan X todennäköisyystiheysfunktioksi, jossa x-akselin rajoittaman käyrän alittava kokonaispinta-ala on yhtä suuri kuin ”1”. eli.
”int_(-oo)^oo f(x)dx=1”
minkä tahansa kahden ordinaatin x = A ja x = b välinen käyrän alittava alue on todennäköisyys, että X on a: n ja b: n välissä.
”int_a^bf(x)dx=p(a<=x<=b) ”
tässä.
todennäköisyydet suhteellisena Frekvenssinä
Jos koe suoritetaan riittävän monta kertaa, niin pitkällä aikavälillä tapahtuman suhteellista frekvenssiä kutsutaan tapahtuman todennäköisyydeksi.
esimerkki 3
viittaa edelliseen esimerkkiin. Valitun kahvipurkin paino on jatkuva satunnaismuuttuja. Seuraavassa taulukossa ilmoitetaan koneen äskettäin täyttämien ” 100 ” purkin paino kilogrammoina. Siinä luetellaan jatkuvan satunnaismuuttujan havaitut arvot ja niitä vastaavat frekvenssit.
etsi kunkin painoluokan todennäköisyydet.
| paino x | purkkien lukumäärä | ”0.900 – 0.925” | ” 1 ” |
|---|---|
| ”0.925 – 0.950” | |
| ”0.950 – 0.975” | ” 25 ” | ”0.975 – 1.000” | ” 32 ” |
| ”1.000 – 1.025” | 30 ” | ”1.025 – 1.050” | ” 5 ” |
| yhteensä | ” 100 ” |
vastaus
jaamme yksinkertaisesti määrä purkit kussakin painoluokassa 100 antaa todennäköisyydet.
| Weight X | Number of Jars |
Probability P(a ≤ X < b) |
|---|---|---|
| 0.900 – 0.925 | 1 | 0.01 |
| 0.925 – 0.950 | 7 | 0.07 |
| 0.950 – 0.975 | 25 | 0.25 |
| 0.975 – 1.000 | 32 | 0.32 |
| 1.000 – 1.025 | 30 | 0.30 |
| 1.025 – 1.050 | 5 | 0.05 |
| Total | 100 | 1.00 |
satunnaismuuttujan odotusarvo
esittäköön X diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumafunktion P(X). Tällöin E(X): llä eli μ: llä merkityn X: n odotusarvo määritellään seuraavasti:
E(X) = μ = Σ (xi × P(xi))
tämän laskemiseksi kerrotaan muuttujan jokainen mahdollinen arvo sen todennäköisyydellä ja lisätään sitten tulokset.
Σ (xi × P(xi)) = { x1 × P(x1)} + { x2 × P(x2)} + { x3 × P(x3)} + …
”E(X)” kutsutaan myös todennäköisyysjakauman keskiarvoksi.
esimerkki 4
edellä olevassa esimerkissä 1 meillä oli koe, jossa piirsimme ” 2 ”palloa uurnasta, jossa oli” 4 ”punaista ja” 6 ” mustaa palloa. Mikä on odotettavissa määrä punaisia palloja?
vastaus
selvitimme todennäköisyydet jo aiemmin:
| Possible Outcome | RR | RB | BR | BB |
| xi | `2` | `1` | `1` | `0` |
| P(xi) | `2/15` | `4/15` | `4/15` | `1/3` |
`E(X)=sum{x_i * P(x_i)}`
`=2times2/15+` `1times4/15+` `1times4/15+` `0times1/3`
`=4/5`
`=0.8`
This means that if we performed this experiment 1000 times, we would expect to get 800 red balls.
esimerkki 5
I throw a die and get ”$1 ”if it is showing ”1”, and get ”$2 ”if it is showing ”2”, and get ”$3 ”if it is showing ”3”, jne. Mikä on määrä rahaa voin odottaa, Jos heitän sen ’ 100 ’ kertaa?
vastaus
yhden heiton odotusarvo on:
”E(X)=sum{x_i*p(x_i)}=1times1/6+ ””2times1/6+3times1/6+ ””4times1/6+ ””5times1/6+ ””6times1/6”
”=7/2 ”
`=3,5`
joten sadasta heitosta voin odottaa saavani 350 dollaria.
Example 6
The number of persons X, in a Singapore family chosen at random has the following probability distribution:
| X | `1` | `2` | `3` | `4` | `5` | `6` | `7` | `8` |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X) | `0.34` | `0.44` | `0.11` | `0.06` | `0.02` | `0.01` | `0.01` | `0.01` |
Find the average family size `E(X)`.
vastaus
”E(X)”
”=sum{x_i*p(x_i)} ”
”=1times0.34+2times0.44 ””+3times0.11+4times0.06 ””+5times0.02+6times0.01 ””+7times0.01+8times0.01 ”
”=2,1 ”
joten keskimääräinen perhekoko on e(x) = μ = 2,1 henkilöä.
esimerkki 7
korttipelissä ystäväni kanssa maksan tietyn summan rahaa joka kerta, kun häviän. Voitan ”4 dollaria”, jos arvonimi on jack tai queen, ja voitan ”5 dollaria”, jos arvonimi on kuningas tai ässä tavallisesta ” 52 ” pelikorttipaketista. Jos vedän muita kortteja, häviän. Mitä minun pitäisi maksaa, jotta tulisimme tasoihin? (Eli peli on ”reilu”?)
vastaus
| X | K, A (”$5”) | lose (”- $x”) | P(X) | ”8/52=2/13” | ”2/13” | ”9/13” |
”e(x)=Sum{x_i * p(x_i)}”
” =4times2/13+5times2/13-Xtimes9/13 `
`=frac{18-9x}{13} `
nyt odotusarvon pitäisi olla 0 dollaria, jotta peli olisi reilu.
So ”frac{18-9x}{13}=0” ja näin saadaan ”x=2”.
joten minun täytyisi maksaa ”$2”, jotta se olisi reilu peli.
satunnaismuuttujan varianssi
olkoon X edustava diskreetti satunnaismuuttuja, jonka todennäköisyysjakaumafunktio on ” P(X)”. X: n varianssi, jota merkitään ”V(X)” tai σ2, määritellään seuraavasti:
v(X) = σ2
= Σ
koska μ = E(X), (tai keskiarvo), voitaisiin kirjoittaa myös näin:
v(X) = σ2
toinen tapa laskea varianssi on:
v(X) = σ2 = E(X2) − 2
todennäköisyysjakauman keskihajontaa
”sigma=sqrt(V(X)” kutsutaan todennäköisyysjakauman keskihajonnaksi. Keskihajonta on luku, joka kuvaa jakauman leviämistä. Pieni keskihajonta tarkoittaa pientä hajontaa, suuri keskihajonta tarkoittaa suurta hajontaa.
seuraavissa 3 jakaumassa meillä on sama keskiarvo (μ = 4), mutta keskihajonta kasvaa suuremmaksi, eli pisteiden jakauma on suurempi.
kunkin käyrän alle jäävä pinta-ala on ”1”.
esimerkki 8
Etsi”V(X)”seuraavalle todennäköisyysjakaumalle:
| X | ” 8 ” | ” 12 ” | ” 16 ” | ” 20 ” | 24 ” |
|---|---|---|---|---|---|
| p(x) | ” 1/8 ” | ” 1/6 ” | ” 3/8 ” | ” 1/4 ” | ”1/12” |
vastaus
ensin on löydettävä ” e(x)”:
”e(x)” `=8times1/8+12times1/6` ”+16times3/8+20times1/4 ” `+24times1/12”=16`
sitten:
”V(X)” `=sum ”
”=(8-16)^2 kertaa 1/8 + (12-16)^2 kertaa 1/6` ` + (16-16)^2 kertaa 3/8 + (20-16)^2 kertaa 1/4” + (24-16)^2 kertaa 1/4 ` ` + (24-16) ^ 2 kertaa 1/12 `
” =20 `
tämän tarkistaminen muilla kaava:
v(x) = e (x 2) − 2
tätä varten on selvitettävä satunnaismuuttujan x neliöiden odotusarvo.
| X | `8` | `12` | `16` | `20` | `24` |
| X2 | `64` | `144` | `256` | `400` | `576` |
| P(X) | `1/8` | `1/6` | `3/8` | `1/4` | `1/12` |
`E(X^2)=sumX^2P(X)`
`=64times1/8+144times1/6+` `256times3/8+` `400times1/4+` `576times1/12`
`=276`
We found E(X) before: `E(X) = 16`
V(X) = E(X2) − 2 = 276 − 162 = 20, as before.