Koncept Náhodné Proměnné

termín „statistický experiment“ se používá k popisu procesu, kterým několik šanci pozorování jsou získány.

všechny možné výsledky experimentu zahrnují množinu, která se nazývá vzorkovací prostor. Zajímá nás nějaký číselný popis výsledku.

například, když jsme hodit mincí `3` krát, a máme zájem o počet hlav, které spadají, pak číselná hodnota `0, 1, 2, 3 bude přiřazeno ke každému vzorku bod.

čísla`0`, `1`, `2`, a `3` jsou náhodné veličiny určuje výsledek experimentu.

může být myšlenka jako hodnoty převzaté některé náhodné proměnné x, což v tomto případě představuje počet hlav, když je mince hodil 3 krát.

takže můžeme napsat x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 a x4 = 3.

Definice

1. náhodná proměnná je proměnná, jejíž hodnota je určena výsledkem náhodného pokusu.

2. diskrétní náhodná proměnná je ta, jejíž množina předpokládaných hodnot je spočitatelná (vzniká počítáním).

3. spojitá náhodná proměnná je ta, jejíž množina předpokládaných hodnot je nespočetná (vzniká měřením.).

použijeme:

velké (velká písmena) X pro náhodnou proměnnou a

malá písmena x1, x2, x3… pro hodnoty náhodné proměnné v experimentu. Tyto xi pak představují událost, která je podmnožinou vzorkovacího prostoru.

pravděpodobnosti událostí jsou dány: P(x1), P(x2), P (x3),…

používáme také notaci ‚ P (X)’` Například, možná budeme muset najít některé pravděpodobnosti, které se týkají, když hodíme kostku. Budeme psát pro pravděpodobnost získání „5“, když jsme roll zemřít jako:

`P(X=5)=1/6.

Příklad 1 – Diskrétní Náhodná Proměnná

Dva míčky losují náhodně v řadě bez náhrady z urny obsahující `4` červené koule a `6` černé koule.

Najděte pravděpodobnosti všech možných výsledků.

odpověď

Příklad 2 – Spojité Náhodné Proměnné

sklenice kávy je vybral náhodně z plnicí proces, ve kterém automat je náplň kávu sklenice každý s `1\ „kg“` kávy. Vzhledem k některým chybám v automatickém procesu se hmotnost nádoby může lišit od nádoby k nádobě v rozmezí „0,9\“ kg „“ až „1,05\ „kg“, s výjimkou druhé.

Nechť X označuje hmotnost vybrané sklenice kávy. Jaký je rozsah X?

odpověď

Distribuční Funkce,

Definice

1. diskrétní rozdělení pravděpodobnosti je tabulka (nebo vzorce), seznam všech možných hodnot, které je diskrétní proměnná, spolu s pravděpodobností.

2. funkce f(x) se nazývá funkce hustoty pravděpodobnosti pro spojité náhodné proměnné X, kde celková plocha pod křivkou ohraničena osou x, je roven `1`. tedy.

`int_(-oo)^oo f(x)dx=1`

obsah plochy pod křivkou mezi dvěma souřadnicemi x = a a x = b je pravděpodobnost, že X leží mezi a a b.

`int_a^bf(x)dx=P(a<=X<=b)`

Viz plocha pod křivkou v sekci pro integraci nějaké pozadí.

pravděpodobnosti jako relativní frekvence

Pokud je experiment proveden dostatečně mnohokrát, pak se z dlouhodobého hlediska relativní frekvence Události nazývá pravděpodobnost, že k této události dojde.

příklad 3

viz předchozí příklad. Hmotnost vybrané sklenice kávy je spojitá náhodná proměnná. Následující tabulka uvádí hmotnost v kg “ 100 “ nádob, které byly nedávno naplněny strojem. Uvádí pozorované hodnoty spojité náhodné proměnné a jejich odpovídající frekvence.

Najděte pravděpodobnosti pro každou váhovou kategorii.

Hmotnost X	Číslo Sklenice
`0.900 – 0.925`	`1`
`0.925 – 0.950`	`7`
`0.950 – 0.975`	`25`
`0.975 – 1.000`	`32`
`1.000 – 1.025`	`30`
`1.025 – 1.050`	`5`
Celkem	`100`

Odpovědět

Očekávaná Hodnota Náhodné Proměnné

Nechť X představují diskrétní náhodná veličina s pravděpodobnostní distribuční funkce P(X). Pak očekávanou hodnotu X označenou E(X), nebo μ, je definována jako:

E(X) = μ = Σ (xi × P(xi))

vypočítat tento, vynásobíme každou možnou hodnotu proměnné o jeho pravděpodobnost, pak přidat výsledky.

Σ (xi × P(xi)) = { x1 × P(x1)} + { x2 × P(x2)} + { x3 × P(x3)} + …

`E(X) ‚ se také nazývá průměr rozdělení pravděpodobnosti.

příklad 4

v příkladu 1 výše jsme měli experiment, kde jsme nakreslili “ 2 „koule z urny obsahující“ 4 „červené a“ 6 “ černé koule. Jaký je očekávaný počet červených koulí?

odpověď

Příklad 5

já házet kostkou a dostat `$1` pokud je zobrazen jako „1“, a dostat `$2`, pokud je zobrazeno `2` a získat `$3`, pokud je zobrazeno `3`, atd. Jaká je částka, kterou mohu očekávat, když ji hodím ‚ 100 ‚ krát?

Odpovědět

Example 6

The number of persons X, in a Singapore family chosen at random has the following probability distribution:

Find the average family size `E(X)`.

Odpovědět

příklad 7

v karetní hře se svým přítelem platím určitou částku peněz pokaždé, když prohraju. I vyhrát ‚$ 4‘, Když jsem nakreslit jack nebo královnu a já vyhrát ‚$ 5‘, Když jsem nakreslit krále nebo eso z obyčejného balení ‚ 52 ‚ hracích karet. Když nakreslím další karty, prohraju. Co mám zaplatit, abychom vyšli ven? (To znamená, že hra je „spravedlivá“?)

Odpovědět

rozptyl náhodné proměnné

Nechť X představuje diskrétní náhodnou proměnnou s funkcí distribuce pravděpodobnosti “ P (X)“` Rozptyl X označený `V(X)` nebo σ2 je definován jako:

Od μ = E(X), (nebo průměrná hodnota), můžeme to také zapsat jako:

Další způsob výpočtu rozptylu je:

V(X) = σ2 = E(X2) − 2

Směrodatná Odchylka Rozdělení Pravděpodobnosti

`sigma=sqrt(V(X) se nazývá směrodatná odchylka rozdělení pravděpodobnosti. Směrodatná odchylka je číslo, které popisuje šíření distribuce. Malá směrodatná odchylka znamená malé rozpětí, velká směrodatná odchylka znamená velké rozpětí.

v následujících 3 distribucích máme stejný průměr (μ = 4), ale směrodatná odchylka se zvětšuje, což znamená, že šíření skóre je větší.

plocha pod každou křivkou je ‚ 1`.

Příklad 8

Najít `V(X)` pro následující pravděpodobnostní rozdělení:

X	`8`	`12`	`16`	`20`	`24`
P(X)	`1/8`	`1/6`	`3/8`	`1/4`	`1/12`

Odpovědět