știați că metoda de spălare este o extensie a metodei discului pentru a găsi volumul unui solid de revoluție pentru a acoperi solidele cu o gaură?

Jenn, fondator Calcworkshop, 15 + ani de experiență (licențiat & profesor certificat)

este adevărat!

să intrăm și să aflăm mai multe!

fundal

pentru a înțelege cum să -, să ne reamintim cum ne-ar calcula o zonă regiune umbrită așa cum am făcut în geometrie.

Să presupunem că ni se cere să găsim aria unui dreptunghi cu un triunghi care lipsește din mijloc.

ce am face?

În primul rând, am vedea aria dreptunghiului și aria triunghiului separat.

apoi am scădea aceste două valori pentru a găsi zona rămasă așa cum se vede mai jos.

utilizați metoda de scădere pentru a găsi zona regiunii umbrite – dreptunghi

Ei bine, putem face același lucru pentru a găsi solide de revoluție. Vom lua un disc și vom elimina o porțiune.

presupunem că avem un dreptunghi care este perpendicular pe axa de revoluție, dar dreptunghiul nu atinge direct axa de revoluție.

cum am calcula aria acestui dreptunghi? Vezi mai jos.

găsiți zona regiunii umbrite a unui dreptunghi

aceasta înseamnă că, atunci când rotim dreptunghiul în jurul axei de revoluție, vom găsi volumul razei exterioare (r) minus raza interioară (r).

\begin{equation}
V=\pi R^{2} w-\pi r^{2} W=\pi\left(R^{2}-R^{2}\right) W
\end{equation}

în consecință, dacă aplicăm această tehnică pentru un număr infinit de dreptunghiuri, putem găsi volumul solidului format prin rotirea unei regiuni delimitate în jurul unei axe folosind următoarea formulă.

\begin{ecuația}
V = \ pi \ int_{a}^{b}\stânga (R ^ {2}-R^{2} \ dreapta) d x
\end{ecuația}

minunat!

metoda de spălare (pas cu pas)

deci, să ne uităm la un exemplu și să vedem metoda de spălare pentru solidele de revoluție în acțiune.

găsiți volumul solidului format prin rotirea regiunii delimitate de graficele din jurul axei X.

\begin{ecuația}
y = x^{2} \ text { și } y = \ sqrt{x}
\ end{ecuația}

Pasul 1:

În primul rând, vom grafic regiunea noastră delimitată.

cum să găsiți volumul unui Solid cu integrale

Pasul 2:

în continuare, vom identifica axa noastră de rotație și vom crea felia noastră verticală, dreptunghiulară perpendiculară pe axa de rotație (adică, axa x). Procedând astfel, determinăm grosimea noastră să fie dx.

metoda de spălare – care se rotește în jurul axei X

Pasul 3:

acum trebuie să determinăm raza noastră exterioară, R și raza noastră interioară, r.

identificarea axei de rotație cu raza interioară și exterioară

pasul 4:

în cele din urmă, conectăm totul în formula noastră și o integrăm pentru a găsi volumul solidului rezultat al Revoluției.

\începe{ecuație}
\începe{array}{l}
V=\pi \int_{a}^{b}\stânga(R^{2}\dreapta) d x=\pi \int_{0}^{1}(\sqrt{x})^{2}-\stânga(x^{2}\dreapta)^{2} d X \\
V=\pi \int_{0}^{1}\stânga(x-x^{4}\dreapta) D x=\pi\stânga(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{5}}{5} \ dreapta]_{0}^{1}=\frac{3 \ pi}{10}
\end{array}
\ end{ecuație}

Wow! Tocmai am constatat că volumul regiunii delimitate atunci când este rotit în jurul axei x!

disc și metoda de spălare cu gaura

volumul metodei de spălare solidă

vezi, nu așa de rău!

rezumat

împreună, vom lucra printr-o abundență de întrebări în detaliu pentru a găsi volumul unui solid generat despre axa x, axa y sau orice linie orizontală sau verticală, ale cărei secțiuni transversale sunt șaibe.

va fi distractiv, așa că hai să trecem la asta!

tutorial video w/Lecție completă& exemple detaliate (Video)

obțineți acces la toate cursurile și peste 150 de videoclipuri HD cu abonamentul

planuri lunare, semestriale și anuale disponibile

obțineți abonamentul meu acum

nu sunteți încă gata să vă abonați? Luați Calcworkshop pentru o rotire cu cursul nostru de limite gratuite