11. Distribuții de probabilitate-concepte
pe această pagină…
- definiții ale variabilelor aleatoare, discrete și continue
- funcție de distribuție
- probabilități ca frecvență relativă
- valoare așteptată
- varianță
- deviație Standard
notație
folosim variabile majuscule (cum ar fi X și Z) pentru a desemna variabile aleatorii și litere mici (cum ar fi x și z) pentru a desemna valori specifice ale acestor variabile.
conceptul de variabilă aleatorie
termenul „experiment statistic” este folosit pentru a descrie orice proces prin care se obțin mai multe observații întâmplătoare.
toate rezultatele posibile ale unui experiment cuprind un set care se numește spațiul eșantionului. Suntem interesați de o descriere numerică a rezultatului.
de exemplu, când aruncăm o monedă de 3 ori și suntem interesați de numărul de capete care cad, atunci o valoare numerică de `0, 1, 2, 3` va fi atribuită fiecărui punct de probă.
numerele`0`, `1`, `2`, și` 3 ‘ sunt cantități aleatorii determinate de rezultatul unui experiment.
pot fi considerate ca valori asumate de o variabilă aleatoare x, care în acest caz reprezintă numărul de capete atunci când o monedă este aruncată de 3 ori.
deci am putea scrie x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 și x4 = 3.
definiții
-
o variabilă aleatorie este o variabilă a cărei valoare este determinată de rezultatul unui experiment aleatoriu.
-
o variabilă aleatorie discretă este una al cărei set de valori asumate este numărabil (rezultă din numărare).
-
o variabilă aleatoare continuă este una al cărei set de valori asumate este nenumărabil (rezultă din măsurare.).
vom folosi:
o majusculă (majusculă) X pentru variabila aleatorie și
minusculă x1, x2, x3… pentru valorile variabilei aleatoare într-un experiment. Aceste xi reprezintă apoi un eveniment care este un subset al spațiului eșantionului.
probabilitățile evenimentelor sunt date de: P(x1), P (x2), P(x3),…
folosim și notația `P(X)`. De exemplu, este posibil să fie nevoie să găsim unele dintre probabilitățile implicate atunci când aruncăm o matriță. Am scrie pentru probabilitatea de a obține un „5” atunci când rulăm o matriță ca:
`p(X=5)=1/6`
Exemplul 1 – variabilă aleatorie discretă
două bile sunt extrase la întâmplare succesiv fără înlocuire dintr-o urnă care conține `4` bile roșii și `6` bile negre.
găsiți probabilitățile tuturor rezultatelor posibile.
răspuns
fie X indică numărul de bile roșii din rezultat.
| rezultate posibile | RR | RB | BR | BB |
|---|---|---|---|---|
| X | 2 | 1 | 1 | 0 |
aici, x1 = 2, x2 = 1 , x3 = 1 , x4 = 0
acum, probabilitatea de a obține ” 2 ” bile roșii atunci când extragem bilele pe rând este:
probabilitatea ca prima minge să fie roșie ` = 4/10`
probabilitatea ca a doua minge să fie roșie Red ` = 3/9`(pentru că există ` 3` bile roșii rămase în urnă, dintr-un total de `9` bile rămase.) Deci:
`p(x_1)=4/10times3/9=2/15`
De asemenea, pentru probabilitatea de roșu în primul rând este `4/10` urmat de negru este `6/9` (pentru că există `6` bile negre încă în urnă și `9` împreună). Deci:
`P(x_2)=4/10times6/9 = 4/15`
similar pentru negru apoi roșu:
`P(x_3)=6/10times4/9=4/15`
în cele din urmă, pentru `2` bile negre:
`P(x_4)=6/10times5/9=1/3`
ca o verificare, dacă am găsit toate probabilitățile, atunci acestea ar trebui să adauge până la `1`.
`2/15 + 4/15 + 4/15 + 1/3 = 15/15 = 1`
așa că le-am găsit pe toate.
Exemplul 2 – variabilă continuă aleatorie
un borcan de cafea este ales la întâmplare dintr-un proces de umplere în care o mașină automată umple borcane de cafea fiecare cu `1\ „kg”` de cafea. Datorită unor defecțiuni în procesul automat, greutatea unui borcan ar putea varia de la borcan la borcan în intervalul `0.9\ „kg”` până la `1.05\ „kg”`, excluzându-l pe acesta din urmă.
să x denotă greutatea unui borcan de cafea selectat. Care este gama X?
răspuns
rezultate posibile: 0.9 x < 1.05
asta e tot ce trebuie!
funcția de distribuție
definiții
-
o distribuție de probabilitate discretă este un tabel (sau o formulă) care enumeră toate valorile posibile pe care o variabilă discretă le poate prelua, împreună cu probabilitățile asociate.
- funcția f(x) se numește funcție de densitate de probabilitate pentru variabila aleatoare continuă X unde suprafața totală de sub curba delimitată de axa x este egală cu `1`. adică.
`int_(-oo)^oo f(x)dx=1`
aria de sub curba dintre oricare două ordonate x = a și x = b este probabilitatea ca X se află între a și b.
`int_a^bf(x)dx=p(a<=x<=b)`
a se vedea zona de sub o curbă în secțiunea de integrare pentru unele fundal pe asta.
probabilități ca frecvență relativă
dacă un experiment este efectuat de un număr suficient de ori, atunci pe termen lung, frecvența relativă a unui eveniment se numește probabilitatea producerii acelui eveniment.
Exemplul 3
consultați exemplul anterior. Greutatea unui borcan de cafea selectat este o variabilă aleatoare continuă. Tabelul următor prezintă greutatea în kg a borcanelor `100` umplute recent de mașină. Acesta enumeră valorile observate ale variabilei aleatoare continue și frecvențele corespunzătoare ale acestora.
găsiți probabilitățile pentru fiecare categorie de greutate.
| greutate X | număr De Borcane |
|---|---|
| `0,900 – 0,925` | `1` |
| `0,925 – 0,950` | `7` |
| `0,950 – 0,975` | `25` |
| `0,975 – 1,000` | `32` |
| `1,000 – 1,025` | `30` |
| `1.025 – 1.050` | `5` |
| total | `100` |
răspuns
pur și simplu împărțim numărul de borcane din fiecare categorie de greutate cu 100 pentru a da probabilitățile.
| Weight X | Number of Jars |
Probability P(a ≤ X < b) |
|---|---|---|
| 0.900 – 0.925 | 1 | 0.01 |
| 0.925 – 0.950 | 7 | 0.07 |
| 0.950 – 0.975 | 25 | 0.25 |
| 0.975 – 1.000 | 32 | 0.32 |
| 1.000 – 1.025 | 30 | 0.30 |
| 1.025 – 1.050 | 5 | 0.05 |
| Total | 100 | 1.00 |
valoarea așteptată a unei variabile aleatoare
fie X reprezintă o variabilă aleatoare discretă cu funcția de distribuție a probabilității P(X). Apoi, valoarea așteptată a lui X notată cu E(X), sau a lui hectolitru, este definită ca:
E (x) = hectolx(xi))
pentru a calcula acest lucru, înmulțim fiecare valoare posibilă a variabilei cu probabilitatea sa, apoi adăugăm rezultatele.
(xi)) = {x1 (x1)} + {x2 (x2)} + {x3(x3)} + …
`e(X)` se mai numește și media distribuției probabilității.
Exemplul 4
în exemplul 1 de mai sus, am avut un experiment în care am desenat `2` bile dintr-o urnă care conține `4` bile roșii și `6` negre. Care este numărul așteptat de bile roșii?
răspuns
am lucrat deja probabilitățile înainte:
| Possible Outcome | RR | RB | BR | BB |
| xi | `2` | `1` | `1` | `0` |
| P(xi) | `2/15` | `4/15` | `4/15` | `1/3` |
`E(X)=sum{x_i * P(x_i)}`
`=2times2/15+` `1times4/15+` `1times4/15+` `0times1/3`
`=4/5`
`=0.8`
This means that if we performed this experiment 1000 times, we would expect to get 800 red balls.
exemplul 5
arunc o matriță și primesc `$1` dacă arată `1` și primesc `$2` dacă arată `2` și primesc `$3` dacă arată `3` etc. Care este suma de bani la care mă pot aștepta dacă o arunc de 100 de ori?
răspuns
pentru o aruncare, valoarea așteptată este:
`E(X)=sumă{x_i*P(x_i)}=1times1/6+` `2times1/6+3times1/6+` `4times1/6+` `5times1/6+` `6times1/6`
`=7/2`
`=3.5`
deci pentru 100 de aruncări, mă pot aștepta să primesc 350$.
Example 6
The number of persons X, in a Singapore family chosen at random has the following probability distribution:
| X | `1` | `2` | `3` | `4` | `5` | `6` | `7` | `8` |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X) | `0.34` | `0.44` | `0.11` | `0.06` | `0.02` | `0.01` | `0.01` | `0.01` |
Find the average family size `E(X)`.
răspuns
`E(X)`
`=sumă{x_i*P(x_i)}`
`=1times0.34+2times0.44` `+3times0.11+4times0.06` `+5times0.02+6times0.01` `+7times0.01+8times0.01`
`=2.1`
deci mărimea medie a familiei este e(x) = 2.1 persoane.
exemplul 7
într-un joc de cărți cu prietenul meu, plătesc o anumită sumă de bani de fiecare dată când pierd. Câștig `$4 ‘ dacă trag un jack sau o regină și câștig `$5` dacă trag un rege sau un As dintr-un pachet obișnuit de cărți de joc `52`. Dacă trag alte cărți, pierd. Ce ar trebui să plătesc pentru a ieși chiar? (Adică, jocul este „corect”?)
răspuns
| X | J, Q (`$4`) | K, A (`$5`) | pierde (`-$x`) |
| P(X) | `8/52=2/13` | `2/13` | `9/13` |
`e(x)=sumă{x_i * p(x_i)}`
`=4times2/13+5times2/13-Xtimes9/13`
`=frac{18-9x}{13}`
acum valoarea așteptată ar trebui să fie $0 pentru ca jocul să fie corect.
deci `frac{18-9x}{13}=0` și asta dă `x=2`.
așa că ar trebui să plătesc$2 pentru a fi un joc corect.
varianța unei variabile aleatoare
fie X reprezintă o variabilă aleatoare discretă cu funcția de distribuție a probabilității `P(X)`. Varianța lui X notată cu V(X)` sau σ2 este definit ca:
V(X) = σ2
= Σ
Deoarece μ = E(X), (sau valoarea medie), am putea scrie, de asemenea, acest lucru ca:
V(X) = σ2
= Σ
un Alt mod de calcul a varianței este:
V(X) = hect2 = e(X2) − 2
deviația Standard a distribuției probabilității
`sigma=sqrt(V(X)` se numește deviația standard a distribuției probabilității. Deviația standard este un număr care descrie răspândirea distribuției. Deviația standard mică înseamnă răspândire mică, abaterea standard mare înseamnă răspândire mare.
în următoarele 3 distribuții, avem aceeași medie (XQ = 4), dar deviația standard devine mai mare, ceea ce înseamnă că răspândirea scorurilor este mai mare.
aria de sub fiecare curbă este `1`.
exemplul 8
găsiți `V(X)` pentru următoarea distribuție de probabilitate:
| x | `8` | `12` | `16` | `20` | `24` |
|---|---|---|---|---|---|
| p(x) | `1/8` | `1/6` | `3/8` | `1/4` | `1/12` |
răspuns
trebuie să găsim `E(X)` mai întâi:
`e(x)` `=8times1/8+12times1/6` `+16times3/8+20times1/4` `+24times1/12` `=16`
apoi:
`v(X)` `=sumă`
`=(8-16)^de 2 ori 1/8 + (12-16)^de 2 ori 1/6 ` `+ (16-16)^de 2 ori 3/8 + (20-16)^de 2 ori 1/4 ` `+ (24-16)^de 2 ori1/12`
`=20`
verificând acest lucru folosind formula:
V(X) = e(x 2) − 2
pentru aceasta, trebuie să elaborăm valoarea așteptată a pătratelor variabilei aleatorii X.
| X | `8` | `12` | `16` | `20` | `24` |
| X2 | `64` | `144` | `256` | `400` | `576` |
| P(X) | `1/8` | `1/6` | `3/8` | `1/4` | `1/12` |
`E(X^2)=sumX^2P(X)`
`=64times1/8+144times1/6+` `256times3/8+` `400times1/4+` `576times1/12`
`=276`
We found E(X) before: `E(X) = 16`
V(X) = E(X2) − 2 = 276 − 162 = 20, as before.