Czy wiesz, że metoda podkładki jest rozszerzeniem metody dysku do znajdowania objętości bryły obrotowej w celu zakrycia bryły otworem?

Jenn, założyciel Calcworkshop®, ponad 15 lat doświadczenia (licencjonowany & Certyfikowany nauczyciel)

To prawda!

wskoczmy i dowiedzmy się więcej!

Tło

aby zrozumieć, jak to zrobić, przypomnijmy sobie, jak obliczylibyśmy zacieniony obszar regionu, tak jak to zrobiliśmy w geometrii.

Załóżmy, że jesteśmy proszeni o znalezienie pola prostokąta z trójkątem brakującym od środka.

co byśmy zrobili?

najpierw zobaczylibyśmy pole prostokąta i pole trójkąta osobno.

następnie odejmiemy te dwie wartości, aby znaleźć pozostały obszar, jak widać poniżej.

użyj metody odejmowania, aby znaleźć obszar cieniowanego regionu – prostokąt

cóż, możemy zrobić to samo dla znalezienia ciał stałych obrotu. Weźmiemy dysk i usuniemy część.

Załóżmy, że mamy prostokąt, który jest prostopadły do osi obrotu, ale prostokąt nie dotyka bezpośrednio osi obrotu.

Jak obliczyć powierzchnię tego prostokąta? Patrz poniżej.

znajdź obszar cieniowanego obszaru prostokąta

oznacza to, że kiedy obracamy prostokąt wokół osi obrotu, znajdziemy objętość zewnętrznego promienia (R) minus wewnętrzny promień (r).

\begin{equation}
V=\pi R^{2} w-\pi r^{2} w=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right) w
\end{equation}

w konsekwencji, jeśli zastosujemy tę technikę dla nieskończonej liczby prostokątów, możemy znaleźć objętość ciała stałego utworzoną przez obrót ograniczonego obszaru wokół osi za pomocą następującego wzoru.

\begin{equation}
V=\pi \int_{a}^{b}\left(R^{2}-r^{2}\right) D x
\end{equation}

niesamowite!

metoda myjki (krok po kroku)

spójrzmy więc na przykład i zobaczmy metodę myjki dla ciał stałych rewolucji w działaniu.

Znajdź objętość ciała stałego utworzoną przez obracanie obszaru ograniczonego wykresami wokół osi X.

\begin{equation}
y=X^{2} \text { and } y=\sqrt{x}
\end{equation}

Krok 1:

najpierw narysujemy nasz ograniczony obszar.

Jak znaleźć objętość bryły z Całkami

Krok 2:

następnie zidentyfikujemy naszą oś obrotu i utworzymy nasz pionowy, prostokątny plaster prostopadły do osi obrotu (tj. osi x). W ten sposób określamy naszą grubość jako dx.

metoda podkładki – obracająca się wokół osi X

Krok 3:

teraz musimy określić nasz zewnętrzny promień, R, i nasz wewnętrzny promień, r.

identyfikacja osi obrotu z wewnętrznym i zewnętrznym promieniem

krok 4:

na koniec podłączamy wszystko do naszej formuły i integrujemy ją, aby znaleźć objętość powstałej bryły rewolucji.

\begin{równanie}
\begin{array}{l}
V=\pi \int_{a}^{b}\left(R^{2}\right) d x=\pi \int_{0}^{1}(\sqrt{x})^{2}-\left(x^{2}\right)^{2} d x \\
V=\pi \int_{0}^{1}\left(x-x^{4}\prawy) D x=\pi\Left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{3 \ pi}{10}
\ end{array}
\ end{array}

Wow! Właśnie odkryliśmy, że objętość ograniczonego obszaru po obróceniu wokół osi x!

metoda dysku i podkładki z otworem

objętość metody spryskiwaczy stałych

Zobacz, nie tak źle!

podsumowanie

wspólnie przebrniemy przez mnóstwo pytań szczegółowo, aby znaleźć objętość bryły Wygenerowanej wokół osi x, osi y lub dowolnej linii poziomej lub pionowej, której przekroje są podkładkami.

będzie fajnie, więc do dzieła!

samouczek wideo z pełną lekcją& szczegółowe przykłady (wideo)

Uzyskaj dostęp do wszystkich kursów i ponad 150 filmów HD z subskrypcją ostępne plany Miesięczne, półroczne i roczne

pobierz teraz subskrypcję

nie jesteś jeszcze gotowy do subskrypcji? Weź Calcworkshop na spin z naszym darmowym kursem limitów