wist u dat de wasmachine methode een uitbreiding is van de schijf methode voor het vinden van het volume van een solid of revolution om vaste stoffen met een gat te bedekken?

Jenn, oprichter Calcworkshop®, 15 + jaar ervaring (Licensed & Certified Teacher)

Het is waar!

laten we erin springen en meer te weten komen!

Achtergrond

om te begrijpen hoe-te, laten we ons herinneren hoe we een gearceerde regio gebied zouden berekenen zoals we deden in de meetkunde.

stel dat we gevraagd worden om de oppervlakte van een rechthoek te vinden met een driehoek die ontbreekt in het midden.

wat zouden we doen?

eerst zien we de oppervlakte van de rechthoek en de oppervlakte van de driehoek afzonderlijk.

dan zouden we deze twee waarden Aftrekken om het resterende gebied te vinden zoals hieronder te zien is.

Gebruik de Aftrekken methode om het gebied van het gearceerde gebied te vinden – rechthoek

Nou, we kunnen hetzelfde doen voor het vinden van vaste stoffen met een omwenteling. We nemen een schijf en verwijderen een deel.

stel dat we een rechthoek hebben die loodrecht staat op de omwentelingsas, maar de rechthoek raakt niet direct de omwentelingsas.

hoe berekenen we de oppervlakte van deze rechthoek? Zie hieronder.

Zoek de oppervlakte van het gearceerde gebied van een rechthoek

Dit betekent dat wanneer we de rechthoek om de omwentelingsas draaien, we het volume van de buitenste straal (R) min de binnenste straal (r) zullen vinden.

\begin{vergelijking}
V= \ pi r^{2} w- \ pi r^{2} w = \pi \ left (R^{2}-r^{2}\right) w
\end{vergelijking}

bijgevolg, als we deze techniek toepassen voor een oneindig aantal rechthoeken, kunnen we het volume van de gevormde vaste stof vinden door een begrensd gebied rond een as te draaien met behulp van de volgende formule.

\begin{vergelijking}
V= \ pi \ int_{a}^{b} \ left (r^{2}-r^{2} \ right) D x
\end{vergelijking}

Awesome!

the Washer Method (Step-by-Step)

dus, laten we eens kijken naar een voorbeeld en zie de washer method for solids of revolution in action.

zoek het volume van de vaste stof die wordt gevormd door het gebied te draaien dat wordt begrensd door de grafieken rond de x-as.

\begin{vergelijking}
y=x^{2} \ text { and } y=\sqrt{x}
\ end{vergelijking}

Stap 1:

eerst zullen we ons begrensd gebied grafieken.

How to Find The Volume Of A Solid With Integrals

Stap 2:

vervolgens identificeren we onze rotatieas en maken we onze verticale, rechthoekige slice loodrecht op de rotatieas (d.w.z. de x-as). Daarbij bepalen we dat onze dikte dx is.

Wasmachine Methode – die Rond De X-As

Stap 3:

Nu moeten we bepalen onze buitenste straal, R, en onze innerlijke straal, r.

het Identificeren van De As Van de Revolutie Met de Binnenste En Buitenste Straal

Stap 4:

ten slotte sluiten we alles aan op onze formule en integreren het om het volume van de resulterende solid van revolution te vinden.

\begin{equation}
\begin{array}{l}
V=\pi \int_{a}^{b}\left(R^{2}\right) d x=\pi \int_{0}^{1}(\sqrt{x})^{2}-\left(x^{2}\right)^{2} d x \\
V=\pi \int_{0}^{1}\left(x-x^{4}\right) d x=\pi\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{3 \pi}{10}
\end{array}
\end{equation}

Wow! We hebben net ontdekt dat het volume van het begrensd gebied wanneer gedraaid om de x-as!

Disk And Washer Method With Hole

volume of solid – washer method

zie, niet zo slecht!

samenvatting

samen zullen we een overvloed aan vragen in detail onderzoeken om het volume te vinden van een vaste stof die wordt gegenereerd rond de x-as, y-as, of een horizontale of verticale lijn, waarvan de dwarsdoorsneden ringen zijn.

het gaat leuk worden, dus laten we beginnen!

Video Tutorial w/ Full Les & Gedetailleerde Voorbeelden (Video)

– Krijg toegang tot alle cursussen en meer dan 150 HD-video ‘ s met uw abonnement

Maandelijks, halfjaarlijks, en de Jaarlijkse Plannen Beschikbaar

maak Mijn Abonnement Nu

nog Niet klaar om u te abonneren? Neem Calcworkshop voor een spin met onze gratis limieten cursus