11. Kansverdelingen-Concepten
op deze pagina…
- definities van willekeurige, discrete en continue variabelen
- distributiefunctie
- waarschijnlijkheden als relatieve frequentie
- verwachte waarde
- variantie
- standaardafwijking
notatie
we gebruiken hoofdletters (zoals X en Z) om willekeurige variabelen aan te duiden, en kleine letters (zoals x en z) om specifieke waarden aan te geven van die variabelen.
Concept van willekeurige variabele
De term “statistisch experiment” wordt gebruikt om elk proces te beschrijven waarbij meerdere toevallige waarnemingen worden verkregen.
alle mogelijke resultaten van een experiment bestaan uit een verzameling die de monsterruimte wordt genoemd. We zijn geïnteresseerd in een aantal numerieke beschrijving van de uitkomst.
bijvoorbeeld, als we een munt `3` keer gooien, en we zijn geïnteresseerd in het aantal koppen dat valt, dan wordt een numerieke waarde van `0, 1, 2, 3` toegewezen aan elk monsterpunt.
De getallen`0`, `1`, `2`, en ‘ 3 ‘ zijn willekeurige hoeveelheden bepaald door de uitkomst van een experiment.
ze kunnen worden beschouwd als de waarden die worden aangenomen door een willekeurige variabele x, die in dit geval het aantal koppen vertegenwoordigt wanneer een munt 3 keer wordt gegooid.
dus we kunnen schrijven x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 en x4 = 3.
definities
-
een willekeurige variabele is een variabele waarvan de waarde wordt bepaald door het resultaat van een willekeurig experiment.
-
een discrete willekeurige variabele is een variabele waarvan de verzameling van veronderstelde waarden aftelbaar is (ontstaat door tellen).
-
een continue willekeurige variabele is een variabele waarvan de reeks veronderstelde waarden ontelbaar is (komt voort uit meting.).
We gebruiken:
een hoofdletter (hoofdletter) X voor de willekeurige variabele en
kleine letters x1, x2, x3… voor de waarden van de willekeurige variabele in een experiment. Deze xi vertegenwoordigen dan een gebeurtenis die een deelverzameling van de steekproefruimte is.
de kansen van de gebeurtenissen worden gegeven door: P(x1), P(x2), P(x3), …
We gebruiken ook de notatie ‘ P (X)’. Bijvoorbeeld, we moeten misschien een aantal van de waarschijnlijkheden vinden die betrokken zijn als we een dobbelsteen gooien. We zouden schrijven voor de waarschijnlijkheid van het verkrijgen van een “5” wanneer we een dobbelsteen rollen als:
`P(X=5)=1/6`
Voorbeeld 1 – Discrete willekeurige variabele
twee ballen worden willekeurig achter elkaar getekend zonder vervanging van een urn met `4` rode ballen en `6` zwarte ballen.
vind de waarschijnlijkheden van alle mogelijke uitkomsten.
antwoord
laat X het aantal rode ballen in de uitkomst aangeven.
| Resultaten | RR | RB | BR | BB |
|---|---|---|---|---|
| X | 2 | 1 | 1 | 0 |
Hier, x1 = 2, x2 = 1 , x3 = 1 , x4 = 0
Nu, de kans op het krijgen van `2` rode ballen wanneer we trekken de ballen een voor een tijd is:
de Waarschijnlijkheid van de eerste bal rood `= 4/10`
de Kans dat de tweede bal wordt rood `= 3/9` (omdat er `3` rode ballen in de urn, van een totaal van `9` ballen.) Dus:
`P(x_1)=4/10times3/9=2/15`
evenzo is de kans dat rood eerst `4/10` is gevolgd door zwart `6/9` (omdat er nog `6` zwarte ballen in de urn zitten en `9` ballen allemaal samen). So:
`P(x_2)=4/10times6/9 = 4/15`
evenzo voor zwart en rood:
`P(x_3)=6/10times4/9=4/15`
ten slotte, voor `2` zwarte ballen:
`P(x_4)=6/10times5/9=1/3`
als een controle, als we alle waarschijnlijkheden hebben gevonden, dan moeten ze optellen tot `1`.
`2/15 + 4/15 + 4/15 + 1/3 = 15/15 = 1`
dus we hebben ze allemaal gevonden.
Voorbeeld 2-continue willekeurige variabele
een pot koffie wordt willekeurig gekozen uit een vulproces waarbij een automatische machine koffiepotten vult met elk “1\” kg ” koffie. Door enkele fouten in het automatische proces kan het gewicht van een pot variëren van pot tot pot in het bereik `0.9\ “kg”` tot `1.05\ “kg”`, met uitzondering van de laatste.
laat X het gewicht van een geselecteerde pot koffie aangeven. Wat is het bereik van X?
antwoord
mogelijke uitkomsten: 0.9 ≤ X < 1.05
dat is alles!
verdelingsfunctie
definities
-
een discrete kansverdeling is een tabel (of een formule) met alle mogelijke waarden die een discrete variabele kan aannemen, samen met de bijbehorende waarschijnlijkheden.
- de functie f (x) wordt een kansdichtheidsfunctie genoemd voor de continue willekeurige variabele X, waarbij de totale oppervlakte onder de kromme begrensd door de x-as gelijk is aan “1”. namelijk.
`int_(-oo)^oo f(x)dx=1`
De oppervlakte onder de curve tussen twee ordinaten x = a en x = b is de kans dat X ligt tussen a en b.
`int_a^bf(x)dx=P(a<=X<=b)`
Zie de oppervlakte onder een kromme in de integratie sectie voor wat meer achtergrondinformatie over dit.
waarschijnlijkheden als relatieve frequentie
als een experiment een voldoende aantal keren wordt uitgevoerd, dan wordt op lange termijn de relatieve frequentie van een gebeurtenis de waarschijnlijkheid van dat voorval genoemd.
Voorbeeld 3
refereer naar het vorige voorbeeld. Het gewicht van een geselecteerde pot koffie is een continue willekeurige variabele. De volgende tabel geeft het gewicht in kg van ” 100 ” potten die onlangs door de machine zijn gevuld. Het geeft de waargenomen waarden van de continue willekeurige variabele en hun overeenkomstige frequenties.
vind de waarschijnlijkheden voor elke gewichtscategorie.
| Gewicht X | Aantal van Potten |
|---|---|
| `0.900 – 0.925` | `1` |
| `0.925 – 0.950` | `7` |
| `0.950 – 0.975` | `25` |
| `0.975 – 1.000` | `32` |
| `1.000 – 1.025` | `30` |
| `1.025 – 1.050` | `5` |
| Totaal | `100` |
Antwoord
We gewoon verdeel de potten in elke gewichtsklasse door 100 te geven van de kansen.
| Weight X | Number of Jars |
Probability P(a ≤ X < b) |
|---|---|---|
| 0.900 – 0.925 | 1 | 0.01 |
| 0.925 – 0.950 | 7 | 0.07 |
| 0.950 – 0.975 | 25 | 0.25 |
| 0.975 – 1.000 | 32 | 0.32 |
| 1.000 – 1.025 | 30 | 0.30 |
| 1.025 – 1.050 | 5 | 0.05 |
| Total | 100 | 1.00 |
verwachte waarde van een willekeurige variabele
laat X een afzonderlijke willekeurige variabele vertegenwoordigen met de kansverdelingsfunctie P(X). Dan wordt de verwachte waarde van X aangeduid met E(X), of μ, gedefinieerd als:
E (X) = μ=Σ (xi × p(xi))
om dit te berekenen vermenigvuldigen we elke mogelijke waarde van de variabele met zijn waarschijnlijkheid en voegen we de resultaten toe.
Σ (xi × p (xi)) = {x1 × P(x1)} + {x2 × P(x2)} + {x3 × P(x3)}+…
`E(X)` wordt ook wel het gemiddelde van de kansverdeling genoemd.
Voorbeeld 4
in Voorbeeld 1 hierboven hadden we een experiment waarbij we `2` ballen tekenden uit een urn met `4` rode en `6` zwarte ballen. Wat is het verwachte aantal rode ballen?
antwoord
We hebben de waarschijnlijkheden al eerder uitgewerkt:
| Possible Outcome | RR | RB | BR | BB |
| xi | `2` | `1` | `1` | `0` |
| P(xi) | `2/15` | `4/15` | `4/15` | `1/3` |
`E(X)=sum{x_i * P(x_i)}`
`=2times2/15+` `1times4/15+` `1times4/15+` `0times1/3`
`=4/5`
`=0.8`
This means that if we performed this experiment 1000 times, we would expect to get 800 red balls.
Voorbeeld 5
Ik gooi een dobbelsteen en krijg `$1` als het `1` toont, en krijg `$2` als het `2` toont, en krijg `$3` als het `3` toont, enz. Wat is de hoeveelheid geld die ik kan verwachten als ik het `100` keer gooi?
antwoord
voor één worp is de verwachte waarde:
`E(X)=sum{x_i*P(x_i)}=1times1/6+` `2times1/6+3times1/6+` `4times1/6+` `5times1/6+` `6times1/6`
`=7/2`
`=3.5`
dus voor 100 worpen kan ik $350 verwachten.
Example 6
The number of persons X, in a Singapore family chosen at random has the following probability distribution:
| X | `1` | `2` | `3` | `4` | `5` | `6` | `7` | `8` |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X) | `0.34` | `0.44` | `0.11` | `0.06` | `0.02` | `0.01` | `0.01` | `0.01` |
Find the average family size `E(X)`.
antwoord
`E(X)`
`=sum{x_i*P(x_i)}`
`=1times0.34+2times0.44` `+3times0.11+4times0.06` `+5times0.02+6times0.01` `+7times0.01+8times0.01`
`=2,1`
dus de gemiddelde gezinsgrootte is e(x) = μ = 2,1 personen.
Voorbeeld 7
in een kaartspel met mijn vriend betaal ik een bepaald bedrag elke keer dat ik verlies. Ik win ‘$4 `als ik een boer of een vrouw trek en ik win` $5 `als ik een heer of aas trek uit een gewoon pak` 52 ‘ speelkaarten. Als ik andere kaarten Trek, verlies ik. Wat moet Ik betalen zodat we quitte staan? (Dat wil zeggen, het spel is “eerlijk”?)
Antwoord
| X | J, Q (`$4`) | K, A (`$5`) | verliezen (`-$x”) |
| P(X) | `8/52=2/13` | `2/13` | `9/13` |
`E(X)=som{x_i * P(x_i)}`
`=4times2/13+5times2/13-xtimes9/13`
`=frac{18-9x}{13}`
Nu is de verwachte waarde moet worden $0 voor het spel om eerlijk te zijn.
dus ‘frac{18-9x}{13} = 0 `en dit geeft`x=2’.
dus ik zou `$2 ‘ moeten betalen om een eerlijk spel te zijn.
variantie van een willekeurige variabele
laat X een afzonderlijke willekeurige variabele met kansverdelingsfunctie “P(X)” vertegenwoordigen. De variantie van X aangeduid met `V(X)` of σ2 wordt gedefinieerd als:
V(X) = σ2
= Σ
sinds μ = E(X), (of de gemiddelde waarde), kunnen we dit ook schrijven als:
V(X) = σ2
= Σ
een andere manier om de variantie is:
V(X) = σ2 = E(X2) − 2
standaardafwijking van de kansverdeling
`sigma=sqrt(V(X)` wordt de standaardafwijking van de kansverdeling genoemd. De standaardafwijking is een getal dat de spreiding van de verdeling beschrijft. Kleine standaardafwijking betekent kleine spreiding, grote standaardafwijking betekent grote spreiding.
In de volgende 3 distributies hebben we hetzelfde gemiddelde (μ = 4), maar de standaardafwijking wordt groter, wat betekent dat de spreiding van scores groter is.
het oppervlak onder elke curve is “1”.
Voorbeeld 8
het Vinden van de `V(X)` voor de volgende kansverdeling:
| X | `8` | `12` | `16` | `20` | `24` |
|---|---|---|---|---|---|
| P(X) | `1/8` | `1/6` | `3/8` | `1/4` | `1/12` |
Antwoord
zijn We op zoek naar `E(X)` als eerste:
`E(X)` – `=8times1/8+12times1/6` `+16times3/8+20times1/4` `+24times1/12` `=16`
Vervolgens:
`V(X)` `=sum`
`=(8-16)^2 keer 1/8 + (12-16)^2 keer 1/6 ` `+ (16-16)^2 keer 3/8 + (20-16)^2 keer 1/4 ` `+ (24-16)^2 keer1/12`
`=20`
dit controleren met behulp van de andere formule:
V(X) = e(x 2) − 2
hiervoor moeten we de verwachte waarde van de kwadraten van de willekeurige variabele x berekenen.
| X | `8` | `12` | `16` | `20` | `24` |
| X2 | `64` | `144` | `256` | `400` | `576` |
| P(X) | `1/8` | `1/6` | `3/8` | `1/4` | `1/12` |
`E(X^2)=sumX^2P(X)`
`=64times1/8+144times1/6+` `256times3/8+` `400times1/4+` `576times1/12`
`=276`
We found E(X) before: `E(X) = 16`
V(X) = E(X2) − 2 = 276 − 162 = 20, as before.