Begrepet Tilfeldig Variabel

begrepet «statistisk eksperiment» brukes til å beskrive enhver prosess der flere tilfeldige observasjoner oppnås.

alle mulige utfall av et eksperiment omfatter et sett som kalles prøveområdet. Vi er interessert i noen numerisk beskrivelse av utfallet.

for eksempel, når vi kaster en mynt ‘ 3 ‘ ganger, og vi er interessert i antall hoder som faller, vil en numerisk verdi på `0, 1, 2, 3` bli tildelt hvert prøvepunkt.

tallene`0`, `1`, `2`, og ‘ 3 ‘ er tilfeldige mengder bestemt av utfallet av et eksperiment.

de kan betraktes som verdiene antatt av noen tilfeldig variabel x, som i dette tilfellet representerer antall hoder når en mynt kastes 3 ganger.

så vi kunne skrive x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 og x4 = 3.

Definisjoner

1. en tilfeldig variabel er en variabel hvis verdi bestemmes av utfallet av et tilfeldig eksperiment.

2. en diskret tilfeldig variabel er en hvis sett med antatte verdier er tellbar (oppstår ved å telle).en kontinuerlig tilfeldig variabel er en hvis sett med antatte verdier er utallige (oppstår fra måling.).

Vi skal bruke:

en kapital (store bokstaver) X For den tilfeldige variabelen og

små bokstaver x1, x2, x3… for verdiene til den tilfeldige variabelen i et eksperiment. Disse xi representerer da en hendelse som er en delmengde av prøveområdet.

sannsynlighetene for hendelsene er gitt av: P(x1), P(x2), P(x3), …

vi bruker også notasjonen ‘ P (X)’. For eksempel må vi kanskje finne noen av sannsynlighetene som er involvert når vi kaster en dør. Vi ville skrive for sannsynligheten for å oppnå en «5» når vi ruller en dør som:

`P(X=5)=1/6`

Eksempel 1 – Diskret Tilfeldig Variabel

To baller trekkes tilfeldig i rekkefølge uten erstatning fra en urne som inneholder » 4 » røde baller og `6` svarte baller.

Finn sannsynlighetene for alle mulige utfall.

Svar

Eksempel 2-Kontinuerlig Tilfeldig Variabel

en krukke med kaffe plukkes tilfeldig fra en fyllingsprosess der en automatisk maskin fyller kaffekrukker hver med ‘1 \» kg «‘ kaffe. På grunn av noen feil i den automatiske prosessen, kan vekten av en krukke variere fra krukke til krukke i området ‘0.9\» kg » `til` 1.05\ «kg»‘, unntatt sistnevnte.

La X betegne vekten av en krukke med kaffe valgt. Hva er omfanget Av X?

Svar

Distribusjonsfunksjon

Definisjoner

1. en diskret sannsynlighetsfordeling er en tabell (eller en formel) som viser alle mulige verdier som en diskret variabel kan ta på, sammen med de tilknyttede sannsynlighetene.

2. funksjonen f (x) kalles en sannsynlighetstetthetsfunksjon for den kontinuerlige tilfeldige variabelen X der det totale arealet under kurven avgrenset av x-aksen er lik ‘1’. altså.

`int_(-oo)^oo f(x)dx=1`

området under kurven mellom eventuelle to ordinater x = a og x = b er sannsynligheten For At X ligger mellom a og b.

`int_a^bf(x)dx=p(a<=x<=b)`

se området under en kurve i integrasjonsdelen for litt bakgrunn på dette.

Sannsynligheter Som Relativ Frekvens

hvis et eksperiment utføres et tilstrekkelig antall ganger, så i det lange løp, den relative frekvensen av en hendelse kalles sannsynligheten for at hendelsen inntreffer.

Eksempel 3

Se forrige eksempel. Vekten av en krukke med kaffe valgt er en kontinuerlig tilfeldig variabel. Tabellen nedenfor viser vekten i kg av` 100 ‘ krukker som nylig ble fylt av maskinen. Den viser de observerte verdiene for den kontinuerlige tilfeldige variabelen og deres tilsvarende frekvenser.

Finn sannsynlighetene for hver vektkategori.

Vekt X	Antall Av Krukker
`0.900 – 0.925`	`1`
`0.925 – 0.950`	`7`
`0.950 – 0.975`	`25`
`0.975 – 1.000`	`32`	`1.000 – 1.025`	`30`
`1.025 – 1.050`	`5`
total	`100`

svar

Forventet Verdi av En Tilfeldig Variabel

La X representere en diskret tilfeldig variabel med sannsynlighetsfordelingsfunksjonen P (X). Da er den forventede verdien Av X betegnet Med E(X), eller μ, definert som:

e(X) = μ = Hryvnias (xi × P(xi))

for å beregne dette multipliserer vi hver mulig verdi av variabelen med sannsynligheten, og legger deretter til resultatene.

Σ (xi × P(xi)) = { x1 × P(x1)} + { x2 × P(x2)} + { x3 × P(x3)} + …

`E(X` ‘ kalles også gjennomsnittet av sannsynlighetsfordelingen.

Eksempel 4

I Eksempel 1 ovenfor hadde Vi et eksperiment der vi trakk ‘ 2 ‘baller fra en urne som inneholdt’ 4 ‘røde og` 6’ svarte baller. Hva er forventet antall røde baller?

Svar

Eksempel 5

jeg kaster en dør og får `$1` hvis den viser `1′, og får ‘$2 ‘hvis den viser ‘2’ , og får `$3` hvis den viser ‘3’, etc. Hva er belopet jeg kan forvente hvis jeg kaster det ‘ 100 ‘ ganger?

Svar

Example 6

The number of persons X, in a Singapore family chosen at random has the following probability distribution:

Find the average family size `E(X)`.

Svar

Eksempel 7

i et kortspill med min venn betaler jeg en viss sum penger hver gang jeg mister. Jeg vinner ‘$4 ‘hvis jeg trekker en jack eller en dronning og jeg vinner `$5` hvis jeg trekker en konge eller ess fra en vanlig pakke med’ 52 ‘ spillkort. Hvis jeg trekker andre kort, taper jeg. Hva skal jeg betale slik at vi kommer ut selv? (Det vil si at spillet er «rettferdig»?)

Svar

Varians av En Tilfeldig Variabel

La X representere en diskret tilfeldig variabel Med sannsynlighetsfordelingsfunksjonen `P(X)’. Variansen til X er merket med » V(X)` eller σ2 er definert som:

Siden μ = E(X), (eller gjennomsnittlig verdi), kan vi skrive dette som:

en Annen måte å beregne variansen er:

v(X) = σ2 = E(X2) – 2

Standardavvik For Sannsynlighetsfordelingen

`sigma=sqrt(V(X)` kalles standardavviket for sannsynlighetsfordelingen. Standardavviket er et tall som beskriver spredningen av fordelingen. Små standardavvik betyr liten spredning, store standardavvik betyr stor spredning.

i de følgende 3 fordelingene har vi det samme gjennomsnittet (μ = 4), men standardavviket blir større, noe som betyr at spredningen av score er større.

arealet under hver kurve er ‘1’.

Eksempel 8

Finn `V(X)` for følgende sannsynlighetsfordeling:

P(X)

x	`8`	`12`	`16`	`20`	`24`
`1/8`	`1/6`	`3/8`	`1/4`	`1/12`

svar