¿Sabía que el método de arandela es una extensión del método de disco para encontrar el volumen de un sólido de revolución para cubrir sólidos con un orificio?

Maestro certificado)

¡Es verdad!

¡Entremos y averigüemos más!

Fondo

Para entender cómo hacerlo, recordemos cómo calcularíamos un área de región sombreada como lo hicimos en geometría.

Supongamos que se nos pide que encontremos el área de un rectángulo al que le falta un triángulo en el centro.

¿Qué haríamos?

Primero, veríamos el área del rectángulo y el área del triángulo por separado.

Entonces restaríamos estos dos valores para encontrar el área restante como se ve a continuación.

Utilice El Método de Resta Para Encontrar El Área Del Rectángulo de Región Sombreada

Bueno, podemos hacer lo mismo para encontrar sólidos de revolución. Vamos a tomar un disco y quitar una porción.

Supongamos que tenemos un rectángulo perpendicular al eje de la revolución, pero el rectángulo no está tocando directamente el eje de la revolución.

¿Cómo calcularíamos el área de este rectángulo? Véase más adelante.

Encuentra el Área de la Región Sombreada de Un Rectángulo

Esto significa que, cuando giramos el rectángulo sobre el eje de revolución, encontraremos el volumen del radio exterior (R) menos el radio interior (r).

\begin{ecuación}
V=\pi R^{2} w-\pi r^{2} w=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right) w
\end{ecuación}

por Consiguiente, si se aplica esta técnica para un número infinito de rectángulos, podemos hallar el volumen del sólido formado por rotatorio de una región acotada sobre un eje, utilizando la siguiente fórmula.

\ begin{ecuación}
V = \pi \ int_{a}^{b}\left (R^{2}-r^{2}\right) d x
\end{ecuación}

¡Impresionante!

El Método de Arandela (Paso a paso)

Veamos un ejemplo y veamos el método de arandela para sólidos de revolución en acción.

Encuentre el volumen del sólido formado girando la región limitada por los gráficos sobre el eje x.

\begin{ecuación}
y=x^{2} \text { y } y=\sqrt{x}
\end{ecuación}

Paso 1:

en Primer lugar, vamos gráfico de nuestra región acotada.

Cómo Encontrar El Volumen De Un Sólido Con Integrales

Paso 2:

a continuación, vamos a identificar nuestro eje de rotación y crear nuestra vertical, división rectangular perpendicular al eje de rotación (es decir, el eje de las x). Al hacerlo, determinamos que nuestro grosor es dx.

Método de arandela que Gira alrededor del eje X

Paso 3:

Ahora debemos determinar nuestro radio exterior, R, y nuestro radio interior, r.

Identificación Del Eje De Revolución Con El Radio Interior Y Exterior

Paso 4:

Por último, conectamos todo en nuestra fórmula e integramos para encontrar el volumen del sólido de revolución resultante.

\begin{ecuación}
\begin{array}{l}
V=\pi \int_{a}^{b}\left(R^{2}\right) d x=\pi \int_{0}^{1}(\sqrt{x})^{2}-\left(x^{2}\right)^{2} d x \\
V=\pi \int_{0}^{1}\left(x-x^{4}\right) d x=\pi\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{5}}{5}\derecho]_{0}^{1}=\frac{3 \pi}{10}
\end{array}
\end{ecuación}

Wow! Acabamos de encontrar que el volumen de la región acotada cuando se gira alrededor del eje x!

el Disco Y la Arandela Método Con el Agujero

el Volumen De Sólidos – Lavadora Método

a Ver, no es tan malo!

Resumen

Juntos, trabajaremos a través de una gran cantidad de preguntas en detalle para encontrar el volumen de un sólido generado sobre el eje x, el eje y o cualquier línea horizontal o vertical, cuyas secciones transversales son arandelas.

Va a ser divertido, ¡así que vamos a ello!

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