Sapevate che il metodo della rondella è un’estensione del metodo del disco per trovare il volume di un solido di rivoluzione per coprire i solidi con un foro?

Jenn, Fondatore Calcworkshop®, 15+ anni di esperienza (licenza & Insegnante certificato)

È vero!

Saltiamo dentro e scopriamo di più!

Sfondo

Per capire come fare, ricordiamo a noi stessi come calcoleremmo un’area di regione ombreggiata come abbiamo fatto in geometria.

Supponiamo che ci venga chiesto di trovare l’area di un rettangolo con un triangolo mancante al centro.

Cosa faremmo?

Per prima cosa, vedremmo separatamente l’area del rettangolo e l’area del triangolo.

Quindi sottrarremmo questi due valori per trovare l’area rimanente come visto di seguito.

Usa il metodo di sottrazione per trovare L’area della Regione ombreggiata – Rettangolo

Bene, possiamo fare la stessa cosa per trovare solidi di rivoluzione. Prenderemo un disco e rimuoveremo una porzione.

Supponiamo di avere un rettangolo perpendicolare all’asse di rivoluzione, ma il rettangolo non tocca direttamente l’asse di rivoluzione.

Come calcoliamo l’area di questo rettangolo? Vedi sotto.

Trovare L’Area Della Regione Ombreggiata Di Un Rettangolo

Questo significa che, quando ci ruotare il rettangolo attorno all’asse di rivoluzione, ci sarà trovare il volume del raggio esterno (R) meno il raggio interno (r).

\begin{equation}
V=\pi R^{2} w-\pi r^{2} w=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right) w
\end{equation}

Di conseguenza, se applichiamo questa tecnica per un numero infinito di rettangoli, possiamo trovare il volume del solido formato ruotando una regione delimitata attorno ad un asse usando la seguente formula.

\ begin {equation}
V = \ pi \ int_{a}^{b} \ left(R^{2} – r^{2}\right) d x
\end{equation}

Impressionante!

Il metodo della rondella (Passo dopo passo)

Quindi, diamo un’occhiata a un esempio e vediamo il metodo della rondella per i solidi di rivoluzione in azione.

Trova il volume del solido formato ruotando la regione delimitata dai grafici sull’asse X.

\begin{equation}
y=x^{2} \text { and } y=\sqrt{x}
\end{equation}

Passo 1:

Per prima cosa, faremo un grafico della nostra regione delimitata.

Come Trovare Il Volume Di Un Solido Con Integrali

Passo 2:

Avanti, noi di identificare il nostro asse di rotazione e creare la nostra verticale, a sezione rettangolare perpendicolare all’asse di rotazione (cioè, l’asse x). In tal modo, determiniamo che il nostro spessore sia dx.

Rondella Metodo – Ruota Intorno All’Asse X

Step 3:

Ora dobbiamo determinare il nostro raggio esterno, R, e il nostro raggio interno r.

Individuare L’Asse Di Rivoluzione Con Raggio Interno Ed Esterno

Step 4:

Infine, inseriamo tutto nella nostra formula e lo integriamo per trovare il volume del solido risultante di rivoluzione.

\begin{equation}
\begin{array}{l}
V=\pi \int_{a}^{b}\left(R^{2}\right) d x=\pi \int_{0}^{1}(\sqrt{x})^{2}-\left(x^{2}\right)^{2} d x \\
V=\pi \int_{0}^{1}\left(x-x^{4}\right) d x=\pi\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{3 \pi}{10}
\end{array}
\end{equation}

Wow! Abbiamo appena scoperto che il volume della regione delimitata quando ruotato attorno all’asse x!

il Disco E la Rondella Con il Metodo del Foro

il Volume Del Solido Rondella Metodo

Vedi, non è così male!

Sommario

Insieme, lavoreremo attraverso un’abbondanza di domande in dettaglio per trovare il volume di un solido generato sull’asse x, sull’asse y o su qualsiasi linea orizzontale o verticale, le cui sezioni trasversali sono rondelle.

Sarà divertente, quindi facciamolo!

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