Concetto di variabile casuale

Il termine “esperimento statistico” è usato per descrivere qualsiasi processo mediante il quale si ottengono diverse osservazioni casuali.

Tutti i possibili risultati di un esperimento comprendono un insieme chiamato spazio campione. Siamo interessati a qualche descrizione numerica del risultato.

Ad esempio, quando lanciamo una moneta `3` volte, e siamo interessati al numero di teste che cadono, allora un valore numerico di `0, 1, 2, 3` sarà assegnato a ciascun punto di campionamento.

I numeri`0`, `1`, `2`, e ‘ 3 ‘ sono quantità casuali determinate dal risultato di un esperimento.

Possono essere pensati come i valori assunti da qualche variabile casuale x, che in questo caso rappresenta il numero di teste quando una moneta viene lanciata 3 volte.

Quindi potremmo scrivere x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 e x4 = 3.

Definizioni

1. Una variabile casuale è una variabile il cui valore è determinato dal risultato di un esperimento casuale.

2. Una variabile casuale discreta è quella il cui insieme di valori assunti è numerabile (deriva dal conteggio).

3. Una variabile casuale continua è quella il cui insieme di valori assunti non è numerabile (deriva dalla misurazione.).

Useremo:

Una maiuscola (maiuscola) X per la variabile casuale e

Minuscole x1, x2, x3… per i valori della variabile casuale in un esperimento. Questi xi rappresentano quindi un evento che è un sottoinsieme dello spazio campione.

Le probabilità degli eventi sono date da: P(x1), P(x2), P(x3), …

Usiamo anche la notazione ‘ P (X)`. Ad esempio, potremmo aver bisogno di trovare alcune delle probabilità coinvolte quando lanciamo un dado. Possiamo scrivere per la probabilità di ottenere un “5” quando si tira un dado, come:

`P(X=5)=1/6`

Esempio 1 – Variabile Casuale Discreta

Due palle sono tirate a caso in successione senza reinserimento da un’urna contenente `4` di palline rosse e `6` palline nere.

Trova le probabilità di tutti i possibili risultati.

Risposta

Esempio 2 – Variabile casuale continua

Un barattolo di caffè viene prelevato a caso da un processo di riempimento in cui una macchina automatica riempie i barattoli di caffè ciascuno con `1\ “kg”` di caffè. A causa di alcuni difetti nel processo automatico, il peso di un barattolo potrebbe variare da barattolo a barattolo nell’intervallo da `0,9\ “kg”` a `1,05\ “kg”`, escludendo quest’ultimo.

Sia X ad indicare il peso di un barattolo di caffè selezionato. Qual è la gamma di X?

Risposta

Funzione di distribuzione

Definizioni

1. Una distribuzione di probabilità discreta è una tabella (o una formula) che elenca tutti i possibili valori che una variabile discreta può assumere, insieme alle probabilità associate.

2. La funzione f(x) è chiamata funzione di densità di probabilità per la variabile casuale continua X dove l’area totale sotto la curva delimitata dall’asse x è uguale a `1`. ossia.

`int_(-oo)^oo f(x)dx=1`

l’area sotto La curva tra due coordinate x = a e x = b è la probabilità che X si trova tra a e b.

`int_a^bf(x)dx=P(a<=X<=b)

Vedere l’area sotto una curva nella sezione integrazione per alcune informazioni su questo.

Probabilità come frequenza relativa

Se un esperimento viene eseguito un numero sufficiente di volte, a lungo termine, la frequenza relativa di un evento è chiamata probabilità che si verifichi tale evento.

Esempio 3

Fare riferimento all’esempio precedente. Il peso di un barattolo di caffè selezionato è una variabile casuale continua. La tabella seguente riporta il peso in kg dei vasetti da 100 ” recentemente riempiti dalla macchina. Elenca i valori osservati della variabile casuale continua e le loro frequenze corrispondenti.

Trova le probabilità per ogni categoria di peso.

Peso	Numero di Vasi
`0.900 – 0.925`	`1`
`0.925 – 0.950`	`7`
`0.950 – 0.975`	`25`
`0.975 – 1.000`	`32`
`1.000 – 1.025`	`30`
`1.025 – 1.050`	`5`
Totale	`100`

Risposta

Valore atteso di una variabile casuale

Sia X rappresentare una variabile casuale discreta con la funzione di distribuzione di probabilità P(X). Il valore atteso di X, indicato con E(X), o μ, è definita come:

E(X) = µ = Σ (xi × P(xi))

Per calcolare questo, si moltiplicano ogni possibile valore della variabile alla probabilità, quindi aggiungere i risultati.

Σ (xi × P(xi)) = { x1 × P(x1)} + { x2 × P(x2)} + { x3 × P(x3)} + …

`E(X)` è anche chiamata la media della distribuzione di probabilità.

Esempio 4

Nell’esempio 1 sopra, abbiamo avuto un esperimento in cui abbiamo estratto `2` palle da un’urna contenente `4` palle rosse e `6` nere. Qual è il numero previsto di palline rosse?

Risposta

Esempio 5

Lancio un dado e ottengo `$1` se mostra `1`, e ottengo `2 2` se mostra `2`, e ottieni `3 3` se mostra `3`, ecc. Qual è la quantità di denaro che posso aspettarmi se lo butto ‘ 100 ‘ volte?

Risposta

Example 6

The number of persons X, in a Singapore family chosen at random has the following probability distribution:

Find the average family size `E(X)`.

Risposta

Esempio 7

In un gioco di carte con il mio amico, pago una certa somma di denaro ogni volta che perdo. Vinco “$4 “se disegno un jack o una regina e vinco “$5 “se disegno un re o un asso da un normale pacchetto di carte da gioco “52”. Se disegno altre carte, perdo. Quanto dovrei pagare in modo che usciamo anche? (Cioè, il gioco è “giusto”?)

Risposta

Varianza di una variabile casuale

Sia X rappresentare una variabile casuale discreta con funzione di distribuzione di probabilità `P(X)`. La varianza di X denotata da `V(X)` o σ2 è definita come:

Poiché μ = E(X), (o il valore medio), potremmo anche scrivere questo come:

Un altro modo di calcolare il valore la varianza è:

V(X) = σ2 = E(X2) − 2

Deviazione standard della distribuzione di probabilità

`sigma=sqrt(V(X)` è chiamata deviazione standard della distribuzione di probabilità. La deviazione standard è un numero che descrive la diffusione della distribuzione. Piccola deviazione standard significa piccola diffusione, grande deviazione standard significa grande diffusione.

Nelle seguenti 3 distribuzioni, abbiamo la stessa media (μ = 4), ma la deviazione standard diventa più grande, il che significa che la diffusione dei punteggi è maggiore.

L’area sotto ogni curva è `1′.

Esempio 8

Trova `V(X)` per la seguente distribuzione di probabilità:

X	`8`	`12`	`16`	`20`	`24`
P(X)	`1/8`	`1/6`	`3/8`	`1/4`	`1/12`

Risposta