Bevezető

Írott szövegek mutatják a figyelemre méltó tulajdonsága, hogy a rang-rendelt megoszlása szó frekvenciák következő hozzávetőleges hatalom, törvény,

1.1

ahol r a rangot, amelyet minden szó a szövegben. A legtöbb szöveg esetében, függetlenül a nyelvtől, a teremtés idejétől, az irodalom műfajától, céljától stb. az egyik megállapítja, hogy α ∼ 1, amelyet Zipf törvényének neveznek . Az 1. ábrán a frekvencia szó látható Darwin szövegére, a fajok eredetére. A statisztikai rendszeresség eredetének megértésére irányuló törekvés majdnem egy évszázada folyik. Maga Zipf minőségi magyarázatot ajánlott fel a küldő és a fogadó által a kommunikációs eseményekbe fektetett erőfeszítések alapján . Ezeket az ötleteket később információs-elméleti kereten belül formalizálták . A Szöveggenerálással kapcsolatos nyelvi feltételezéseken alapuló első kvantitatív modellt Simon javasolta . A modell feltételezi, hogy a szöveg generálásakor a kontextus alakul ki, a szövegben már megjelent szavak előnyben részesülnek másoknál. Azzal az egyszerű feltételezéssel, hogy a korábban megjelent szavakat a korábbi megjelenésükkel arányos valószínűséggel adják hozzá a szöveghez (preferenciális kötődés), és feltételezve, hogy az eddig nem megjelent szavakat állandó sebességgel adják hozzá, lehetséges A Zipf törvényének levezetése, mivel ez utóbbi arány alacsony. Ezt a preferenciális kapcsolódási modellt finomították annak az empirikus ténynek a megvalósításával, hogy az új szavak megjelenésének sebessége csökken a szövegek hosszának növekedésével . A klasszikus művekben kimutatták, hogy a véletlenszerű gépelési modellek a szófrekvenciák Zipf-szerű eloszlásához vezethetnek . Ezek a művek azonban a szóhosszú eloszlásokra vonatkozó irreális feltételezéseken alapulnak, és strukturálatlan és értelmezhetetlen szövegekhez vezetnek. Amint azonban megmutatjuk, a nyelvtani struktúra, a diskurzusgenerációs mechanizmusokkal együtt, alapvető szerepet játszhat A Zipf törvényének valósághű kontextusában. Fontos hangsúlyozni, hogy a nyelvi tulajdonságok részletes statisztikai vizsgálata itt nem ér véget; A Zipf törvényén túl fontos munkát terjesztettek elő (például ). A legújabb tanulmányok a méretezési exponensek részletes függőségével foglalkoznak a vizsgált szöveg testének hosszától .

A Zipf törvénye nem korlátozódik a szófrekvenciákra, hanem számtalan, látszólag független rendszerben és folyamatban jelenik meg . Csak hogy néhányat említsünk, a cégméretek , a városméretek , a genom , a családnevek , a jövedelem , a pénzügyi piacok , az internetes fájlméretek vagy az emberi viselkedés statisztikáiban található ; további példákat lásd . Óriási erőfeszítéseket tettek annak érdekében, hogy megértsék A Zipf törvényének eredetét, és általánosabban a komplex rendszerek méretezésének eredetét. A skálázásnak három fő útja van: multiplikatív folyamatok , preferenciális folyamatok és önszerveződő kritikák . Számos más mechanizmusra is javaslatot tettek, amelyek többé-kevésbé kapcsolódnak ezekhez az alapvető méretezési útvonalakhoz (például ).

a közelmúltban egy negyedik, független útvonalat vezettek be a skálázáshoz olyan sztochasztikus folyamatok alapján, amelyek idővel csökkentik potenciális eredményeiket (minta-tér). Ezek a történelemfüggő véletlenszerű folyamatok , amelyeket a matematikai szakirodalomban különböző kontextusokban, újabban pedig a méretezési törvények összefüggésében vizsgáltak . A minta-tér redukáló folyamatok egyik példája a következő. Gondolj egy sor n kocka, ahol die száma 1 egy arc, die száma 2 két arc (érme), die száma 3 három arcok, és így tovább. Die száma N van n arcok. Kezdjük azzal, hogy egy N-kocka, találomra, mondjuk kocka számon. Dobd rögzíti a kapott arcát érték, ami mondjuk k. Akkor vedd meghalni száma k − 1 dobja, hozz j, rekord j, vegye meghalni száma, j − 1, dob, stb. Tartsa dobás kocka ilyen módon, amíg nem dobja 1 Először. Mivel nincs die kevesebb, mint 1 arcok, a folyamat itt ér véget. A fenti receptben rögzített arcértékek sorrendje (i, k, j, … , 1) nyilvánvalóan szigorúan rendezett vagy beágyazott, i > k > j >> 1. – Ban, azt mutatták, szigorúan, hogy ha ez a folyamat többször megismételjük, az eloszlása eredmények (névértékek 1, 2, … , N) egy pontos Zipf törvény, azaz a valószínűsége, hogy tartsa a névérték m a fenti folyamat(szekvencia dob) pontosan PN (m) = m−1, mivel kezdjük N kocka. Ne feledje, hogy a folyamat ismétlései során az n-t rögzíteni kell a pontos Zipf-törvény megszerzéséhez. Ha az N az ismétlések során változik, egyértelműen A Zipf skálázás aszimptotikusan jelen van a magas rangoknál; azonban a különböző N keveredése miatt a pontos Zipf-törvénytől való eltérések jelennek meg az alacsony rangoknál.

formálisan, minden n die-nek van egy MINTATERÜLETE, amelyet ΩN = {1, 2,…, N} jelöl, ami a potenciális eredmények száma, azaz az n kocka arcainak száma. Szétszórta ezeket a kockát a fent említett módon ad okot, hogy egy sorozat beágyazott minta-terek

1.2

A nestedness a minta-terek történelem-függő folyamat középpontjában a származási méretezés törvények az ilyen típusú folyamat. A részletekért lásd, hol is látható, hogy ha zajt adnak a történelemfüggő folyamatokhoz, akkor a PN(m) ∝ m−λ skálázási törvényt kapjuk, ahol 0 << 1 A zajszint.

ebben a dolgozatban bemutatjuk a Zipf szófrekvenciák törvényének levezetését, amely a mondat/diskurzus kialakulásának egyszerű modelljén alapul. A modellt az a megfigyelés motiválja, hogy egy mondat—vagy általában egy diskurzus—kialakításának folyamata történelem-függő mintaterület-csökkentési folyamat. A szavakat nem véletlenszerűen húzzák ki az összes lehetséges szó mintaterületéből, hanem szigorú kapcsolatban állnak egymással. A konkrét szavak használata egy mondatban nagymértékben korlátozza az egymást követő szavak használatát, ami fészkelő (vagy mintaterület-csökkentő) folyamathoz vezet, hasonlóan a fent leírtakhoz. A szövegekben a minta-tér összeomlása szükséges az értelmes információk továbbításához. Ellenkező esetben minden értelmezés, még metaforikus vagy költői értelemben is, lehetetlenné válik. Tegyük konkrétabbá a pontot egy mondat kialakulásának példájával, ahol mind a nyelvtani, mind a kontextuális korlátok (amelyek csökkentik a minta-teret) működnek (2.ábra). A következő mondatot alkotjuk: “a farkas üvölt az éjszakában”. Elvileg az első szó “a farkas” (figyelmen kívül hagyva a cikkek és prepozíciók a pillanatban) lehet levonni az összes lehetséges szavakat. Tegyük fel, hogy léteznek N lehetséges szavak, és jelöljük a megfelelő minta-teret ΩN = {1, 2, … , N}, ahol minden szám most egy szót jelent. Ezt vázlatosan szemlélteti a 2A. ábra.tekintettel arra, hogy ΩN = {1, 2,…, N} – ből választottuk a “farkast”, a 2B. ábrát, a következő szót (általában) nem ΩN = {1, 2,…, N} – ből választjuk ki, hanem annak egy részhalmazából (2C ábra). Képzeld el, hogy az alcsoport L szavakat tartalmaz, ΩL ⊂ ΩN van. Általában elvárjuk, hogy az alcsoport olyan szavakat tartalmazzon, amelyek a kutyák tulajdonságaihoz, biológiai funkciókhoz, más állatokhoz stb. de már nem minden lehetséges szó. Miután meghatároztuk a második “üvöltés” ∈ ΩL szót, a kontextust, az érthetőséget és a nyelvtani struktúrát, tovább korlátozzuk a harmadik szó mintaterületét ΩM ⊂ ΩL-re, ahonnan végül “éjszaka” – t rajzolunk. Nyilvánvaló, hogy a mondatok kialakításában a fészkelés hasonló a beágyazott kocka példájához. A fészkelést nyelvtani és/vagy kontextuális, és/vagy értelmezési korlátok határozzák meg.

a nyelvtan szerepe a fészkeléshez nyilvánvaló. Általában angolul az első szó egy főnév, amelynek nyelvtani szerepe van. Az a tény, hogy az első szó főnév, korlátozza a következő szó lehetőségeit a verbális kifejezések részhalmazára. A választott igétől függően a most követhető szavak általában az objektum nyelvtani szerepét játsszák, és ismét korlátozottabbak. A minta-tér csökkentés és beágyazott hierarchikus struktúra kifejezéseket egymással felcserélhető mondatokban használjuk. Nem csak a nyelvtani szerkezet, amely egymást követő korlátozásokat ír elő a szavak mintaterületére, ahogy a mondat előrehalad; az érthetőség szükségessége ugyanolyan hatással van. A mondatok kialakításában (legalább részleges) hierarchikus struktúrák nélkül értelmezésük nagyon nehéz lenne . A mondatokban beágyazott struktúrák azonban általában nem lesznek szigorúan megvalósítva. Ellenkező esetben a nyelv kreatív használata és rugalmassága súlyosan korlátozódna. Néha a szavak nyelvi csuklópántként működhetnek, ami azt jelenti, hogy sokkal több egymást követő szót tesz lehetővé, mint az előző szónál. Arra számítunk, hogy a fészkelés csak bizonyos mértékig valósul meg. A tökéletlen Fészek lehetővé teszi a nyelvi kódex bizonyos fokú kétértelműségét, amely megdöbbentő sokoldalúságának egyik forrása .

ebben a dolgozatban számszerűsítjük egy szöveg fészkelésének mértékét az M (hálózat) szóátmeneti mátrixából. Egy szöveg hierarchikus struktúrájának egyetlen számmal történő jellemzéséhez meghatározzuk annak n fészkelését M tulajdonságaként

1.3

ahol az átlagot az összes lehetséges szópárra (i, j) vesszük át. A Nestedness egy 0 és 1 közötti szám, és meghatározza, hogy a szövegben átlagosan milyen mértékben van jelen a mintaterület-csökkenés.1 A szigorúan beágyazott rendszer, mint az egyenlet (1.2), N(M) = 1. Nyelvi szempontból a szigorú fészkelés egyértelműen irreális.

szó-átmeneti mátrixokat használunk a tényleges angol szövegekből, amelyek bemenetként szolgálnak egy egyszerű mondatképzési modellhez. Ezután tanulmányozzuk ezeknek a mesterségesen előállított szövegeknek a szófrekvenciás eloszlását, majd összehasonlítjuk azokat az eredeti szövegek eloszlásával. Először megmutatjuk, hogy lehetséges a (helyi) nestedness topológiai jellemzőjét a mondatképzésben összekapcsolni a hosszú szövegek szófrekvenciás eloszlásának globális jellemzőivel. E tekintetben javasoljuk egy módja annak, hogy megértsük a statisztika szó frekvenciák—Zipf-törvény különösen—a tényleges strukturális jellemzője, hogy a nyelv, nestedness, anélkül, hogy resort a korábbi kísérletek, beleértve a multiplikatív folyamatok, kedvezményes melléklet vagy önszerveződő kritikus, amely a nyelvet, néha úgy tűnik, hogy a többi erős valószínűtlen feltételezés.

Model

az n szavak véges szókincsét feltételezzük. Bármely adott szövegből empirikus szót kapunk-átmeneti mátrix M. a szavakat latin indexekkel jelöljük. Mij = 1 azt jelenti, hogy a szövegben legalább egy alkalmat találunk, ahol a szó J közvetlenül követi i-t; ha Mij = 0, a szó j soha nem követi i-t a teljes szövegben. A 3a.ábra a fajok eredetére vonatkozó átmeneti mátrixot mutatja. Az egyes szavak mintaterületének számszerűsítéséhez vegye figyelembe, hogy az I. sor M-ben tartalmazza a szavak halmazát, Ωi = {k|Mik = 1}, amelyek közvetlenül követik az I szót. |Ωi|, az Ωi méretét (elemek számát) jelöljük, amely a különböző szavak száma, amelyek követhetők i. Ωi a minta-tér térfogatának közelítése, amely elérhető az i szó bekövetkezése után. Különböző szavak Különböző minta-tér kötetek (ábra 3B), ahol a minta-tér profil látható. Mi paraméterezi a profilt, mint yk = x, ahol x megfelel a minta – tér térfogata | / Ωi/, és y a minta-tér index i. hívjuk a rendszer lineárisan beágyazott ha κ = 1 (mint az egyenlet (1.2)), gyengén beágyazott κ < 1 és erősen beágyazott ha κ > 1 (mint a 3B ábra). Példa egy gyengén beágyazott profilra a 4C ábra egyik betétjében. A κ paraméter intuitív értelmezéssel rendelkezik a szóátmenetek “strukturáltságának” mértékében. Gyengén beágyazott profil esetén (κ < 1) Sok szó követhető, míg egy erősen beágyazott profilban (κ > 1) van néhány szó, amelyet sok más szó követ, és sok szó, amelyeket csak nagyon kevés követhet. Ebben az értelemben κ méri, hogy a szóátmenetek milyen mértékben korlátozottak.

vegye figyelembe, hogy a 3B ábrán szereplő profil valójában nincs jól felszerelve hatalmi törvénnyel; a parametrizáció oka egy tisztán elméleti érv, amely az alábbiakban világossá válik. Kizárjuk azokat a szavakat, amelyeket a teljes szövegben kevesebb, mint két különböző szó követ, azaz eltávolítjuk az összes I sort M-ből, amelyre / Ωi / < 2. A szigorú fészket nem szabad összekeverni az erős vagy gyenge fészkeléssel. Az utóbbiak a minta-tér profil tulajdonságai.

statisztikai teszteléshez az M két randomizált változatát állítjuk össze, amelyeket Mrand és Mrow-perm jelöl. Mrand kapjuk véletlenszerűen permutáló sorok az egyes vonalak a mátrix M. ez tartja a száma nem nulla bejegyzés minden sorban ugyanaz, mint az eredeti mátrix M, de elpusztítja a fészket és az információt, amely szavak követik egymást. A második randomizált változat, a Mrow-perm az M mátrix (teljes) sorainak permutálásával érhető el.ez változatlanul tartja a mátrix fészkelését, de elpusztítja a szóátmenetekre vonatkozó információkat.

Given M, az L hosszúságú véletlenszerű mondatokat a következő modellel állítjuk össze:

— véletlenszerűen válasszuk ki az N szavak egyikét. Mondd azt a szót, hogy én. írj egy wordlist W, úgy, hogy W = {i}.

— Ugrás az I vonalra m-ben, és véletlenszerűen válasszon ki egy szót a halmazból Ωi. Mondja, hogy a választott szó k; frissítse a w = {i, k} szót.

— ugorj a K vonalra, és válaszd ki az Ωk egyik szavát; mondd, hogy J, és frissítsd W = {i, k, j}.

— ismételje meg az eljárást l-szer. Ebben a szakaszban véletlenszerű mondat alakul ki.

— ismételje meg a folyamatot Nsent mondatok előállításához.

ily módon kapunk egy l × Nsent bejegyzésekkel ellátott wordlistát, amely egy véletlenszerű könyv, amelyet egy tényleges könyv szó-átmeneti mátrixával generálunk. A wordlist, megkapjuk a szót frekvencia elosztó fmodel. A jelenlegi modell hasonló a one in-hez, de három szempontból különbözik: ez lehetővé teszi a nem tökéletes fészkelést n < 1, nincs kifejezett zajkomponense, rögzített szekvencia (mondat) hossza.

eredmények

a modellt számítógépes szimulációkkal elemezzük, meghatározva L = 10 és Nsent = 100 000 értéket. 10 véletlenszerűen kiválasztott könyvet használunk2 a Project Gutenberg (www.gutenberg.org). minden könyv esetében meghatározzuk az n szókincsét, az M mátrixát, az Ωi-t minden szóra, az N(M) fészkelődését és a rang által rendezett α szófrekvencia-Eloszlás exponensét (a legkisebb négyzet F(r) – re illeszkedik, az 5 ≤ r ≤ 200 közötti illeszkedési tartományt). f (r)A fajok eredetére az 1. ábrán látható (kék); az exponens α ∼ 0,90. Minden egyes könyv paramétereinek modelljét futtatjuk véletlenszerű szöveg létrehozásához. A modell empirikus Ωi-jának használata biztosítja, hogy ez a véletlenszerű szöveg pontosan ugyanolyan mintaterület-profilú legyen,mint a könyv.

az fmodel modellből nyert Eloszlás egyértelműen képes reprodukálni a faj eredetére vonatkozó közelítő teljesítménytényezőt, az amodel ∼ 0.86 – ot (azonos illeszkedési tartomány). Ezenkívül rögzíti az F eloszlás részleteit. Az fmodel(r) r nagy értékei esetén fennsík alakul ki, mielőtt az exponenciális véges méretű cut-off figyelhető meg. Mind a fennsík, mind a levágás teljesen érthető a randomizált modellel.

a 4a ábrán összehasonlítjuk a könyvekből kivont α exponenseket a modell eredményeivel amodel. A modell nyilvánvalóan nagymértékben magyarázza a tényleges értékeket, kissé alábecsülve a tényleges exponenseket. Kapunk egy korrelációs együtthatót ρ = 0,95 (p < 3,7 × 10-5). A 4B ábrán azt mutatjuk be, hogy az N(M) fészkelés megközelítőleg lineáris módon kapcsolódik az α exponensekhez. Teszteljük azt a hipotézist, hogy a fészek elpusztításával az exponensek eltűnnek. A randomizált Mrand használatával (azonos illeszkedési tartomány), amely hatékonyan elpusztítja a hatalmi törvényt. A másik randomizált változat, amely megtartja a nestedness ép, Mrow-perm, az alacsony rangú szavak (KB rangot kb. 10), hasonló szófrekvenciás eloszlásokat találunk, mint az M esetében; azonban, ahogy az várható volt, a teljesítmény törvény farok (magas rangú) eltűnik a Mrow-perm miatt zaj hozzájárulása a randomizáció (nem látható). A feltételezésünk érvényesítéséhez, hogy a szórendelés elengedhetetlen, kiszámítottuk a model rank eloszlásokat az átültetett Mt mátrix használatával, ami azt jelenti, hogy megfordítjuk a modell időáramlását. Két eredményt találunk. Először is, az α és a közötti korreláció eltűnik, amit egy jelentéktelen korrelációs együttható tükröz ρ = 0,47 (p = 0,17). Másodszor, az exponensek (átlagosan a 10 könyv felett) lényegesen kisebbek, mint a megfelelő időáramhoz, ahol a megfelelő a T-teszt p-értéke 0,039.

végül megpróbáljuk megérteni a minta-tér profil fontosságát a méretezési exponenseken. Ehhez egy sor M mátrixot generálunk, amelyek egy teljesítmény κ-vel paraméterezett profillal rendelkeznek. A 4C ábrán a modell exponensek amodel ezekből mesterségesen generált M jelennek függvényében κ, különböző méretű szókincs N. mert κ < 1 (gyenge fészkelő), találunk kitevők amodel ≈ 0, azaz nincs méretezési törvény. Nagy n esetén a κ = 1-nél gyors átmenet történik az AMODEL ≈ 1-re (Zipf). Kisebb N esetén az átmenet bonyolultabb viselkedését találjuk, maximális exponenst építve κ < 1. A könyv exponensek α tartománya 0,85 és 1 között mozog.1, amely pontosan a megfigyelt tartomány reális szókincs méretek n ∼ 1000-10 000. Ellenőriztük, hogy a mondatok hosszának változása (az L = 1 kivételével) nem változtatja meg a jelentett eredményeket. Az egyszavas mondatok (L = 1) esetében nyilvánvalóan egységes szófrekvencia-eloszlást kapunk, következésképpen egy lapos rang-eloszlást, mivel a legtöbb szó szinte azonos rangú. A mondatok számát az Nsent = 104-ről 106-ra változtattuk, és gyakorlatilag nem találtunk befolyást a jelentett eredményekre.

Discussion

ebben a tanulmányban a nestedness alapvető tulajdonságára összpontosítunk minden olyan kódban, amely értelmes információkat, például nyelvet közvetít. Azzal érvelünk, hogy ha a fészkelés nem lenne jelen, akkor J. L. Borges, a La Biblioteca de Babel által leírt zavaros helyzetekben könnyen előfordulhat, ahol egy hipotetikus könyvtár birtokolja az összes olyan könyvet, amely 410 oldalt kitöltő karakterek összes lehetséges kombinációjából áll. A nyelvi kódban meghatározzuk és számszerűsítjük a fészek bizonyos fokát. A fészek alacsony foka általában kevésbé szigorú hierarchiát jelent a szóhasználatban vagy a szókincs egalitárius használatában, mint a magas fészkelésű szövegek. Ahogy az várható volt, a szövegek jól meghatározott, de nem szigorúan beágyazott struktúrával rendelkeznek, amely a specifikusság (egyértelmű üzenetek közvetítése) és a rugalmasság (a nyelv kreatív használatának lehetővé tétele) kompromisszumából származhat. Úgy találjuk, hogy a nestedness különböző szövegek között változik, ami arra utal,hogy a szókincs és a nyelvtan különböző módjai működnek. A szövegmintában három Shakespeare-darab, három tudományos szöveg és négy regény szerepelt. Úgy találjuk, hogy a színdarabok, talán a beszélt nyelvhez legközelebb, alacsonyabb fészket mutatnak, mint a tudományos könyvek. A regények a fészek legmagasabb szintjét mutatják. A minta túl kicsi ahhoz, hogy következtetéseket vonjunk le arról, hogy a különböző típusú szövegeket a fészkelés tipikus értékei jellemzik-e; figyelemre méltó azonban, hogy a fészekség korrelál a szófrekvenciák skálázási exponenseinek könyvenkénti változataival.

a tanulmány fő megállapítása az, hogy egy egyszerű mintaterület-csökkentő modell megmutathatja, hogy a fészkelés valóban magyarázza a méretezési törvények megjelenését a szófrekvenciákban, különösen A Zipf törvényében. Pontosabban, képesek voltunk összekapcsolni a méretezési törvények megjelenését a szó-átmeneti mátrix topológiai szerkezetével, vagy “phasespace”. Az eredmény figyelemre méltó, mivel a mátrix nem kódol semmilyen információt arról, hogy a word j milyen gyakran követi az I szót, csak azt mondja, hogy j legalább egyszer követte az egész szöveget. A mátrix véletlenszerű permutációi, amelyek elpusztítják a fészket, már nem magyarázhatják meg a méretezést, míg a fészkelést érintetlenül tartó permutációk jelzik a hatalmi törvények létezését. További figyelemre méltó, hogy a megfigyelt méretezés megértéséhez nincs (nem helyi) preferenciális, multiplikatív vagy önszerveződő kritikus feltételezés, és a szóátmeneti mátrixokon túl nincs szükség paraméterekre.

az A tény, hogy az egyszerű modell olyan sikeres, a reprodukció a részletes méretezés ingatlan a szó gyakorisága statisztikák lehet, hogy pont egy fontos aspektusa a nyelv, hogy nem megjegyezte, eddig; az a tény, hogy a teljes szót használja, statisztikailag erősen befolyásolja a használatát a helyi hierarchikus szerkezeteket, korlátokat, hogy használjuk a termelő mondatokat. Hisszük, hogy a nestedness és a skálázó exponens közötti szoros kapcsolat megnyitja az ajtót a szófrekvencia-eloszlások statisztikai megfigyelésként való értelmezéséhez, amely erősen függ a szókincs és a nyelvtan használatától egy nyelven belül. Ennek megfelelően azt feltételezzük, hogy A Zipf törvénye nem feltétlenül egyetemes, de ez a szóhasználati statisztika a helyi struktúráktól függ, amelyek a szövegekben, sőt a mondatokban is eltérőek lehetnek. További kutatásokra van szükség e pont tisztázásához.

végül érdemes megjegyezni, hogy a mintaterület-redukáló folyamatok osztálya független útvonalat biztosít a méretezéshez, amely széles körben alkalmazható a történelemfüggő és öregedési folyamatokhoz . A statisztikai fizikában ismert, hogy azokat a folyamatokat, amelyek egymás után csökkentik fázisaikat, amikor kibontakoznak, a hatalmi törvény vagy a feszített exponenciális eloszlási funkciók jellemzik. Ezek az eloszlások általában a fázisok következményeia tér összeomlása .

szerzői hozzájárulások

S. T. megtervezte a kutatást, numerikus analízist végzett és megírta a kéziratot. R. H. és B. C.-M. numerikus analízist végzett és megírta a kéziratot. B. L. elvégezte a könyvek előfeldolgozását és numerikus analízist végzett.

versengő érdekek

a szerzők nem jelentenek versengő pénzügyi érdekeket.

finanszírozás

ezt a munkát az osztrák FWF Tudományos Alap támogatta a KPP23378FW alatt.

lábjegyzetek