Saviez-vous que la méthode de la rondelle est une extension de la méthode du disque pour trouver le volume d’un solide de révolution pour recouvrir les solides d’un trou ?

Jenn, Fondatrice Calcworkshop®, Plus de 15 Ans d’expérience (sous licence &Enseignante certifiée)

C’est vrai!

Sautons et découvrons-en plus!

Contexte

Pour comprendre comment faire, rappelons-nous comment nous calculerions une zone de région ombrée comme nous l’avons fait en géométrie.

Supposons qu’on nous demande de trouver l’aire d’un rectangle avec un triangle manquant au milieu.

Que ferions-nous ?

Tout d’abord, nous verrions l’aire du rectangle et l’aire du triangle séparément.

Ensuite, nous soustrayons ces deux valeurs pour trouver la zone restante comme on le voit ci-dessous.

Utilisez La Méthode De Soustraction Pour Trouver L’Aire Du Rectangle de Région Ombrée

Eh bien, nous pouvons faire la même chose pour trouver des solides de révolution. Nous allons prendre un disque et en retirer une partie.

Supposons que nous ayons un rectangle perpendiculaire à l’axe de révolution, mais que le rectangle ne touche pas directement l’axe de révolution.

Comment calculerions-nous l’aire de ce rectangle? Voir ci-dessous.

Trouvez l’Aire de la Région ombragée d’un rectangle

Cela signifie que lorsque nous tournons le rectangle autour de l’axe de révolution, nous trouverons le volume du rayon extérieur (R) moins le rayon intérieur (r).

\begin{equation}
V= \pi R^{2} w -\pi r^{2} w= \pi\left(R^{2}- r^{2}\right) w
\end{equation}

Par conséquent, si nous appliquons cette technique pour un nombre infini de rectangles, nous pouvons trouver le volume du solide formé en tournant une région bornée autour d’un axe en utilisant la formule suivante.

\begin{equation}
V=\pi\int_{a}^{b}\left(R^{2}- r^{2}\right) d x
\end{equation}

Génial!

La méthode de la rondelle (Étape par étape)

Alors, regardons un exemple et voyons la méthode de la rondelle pour les solides de révolution en action.

Trouvez le volume du solide formé en tournant la région délimitée par les graphes autour de l’axe des abscisses.

\begin{equation}
y = x^{2}\text { and}y=\sqrt{x}
\end{equation}

Étape 1:

Tout d’abord, nous allons représenter graphiquement notre région bornée.

Comment Trouver le Volume d’un Solide Avec des Intégrales

Étape 2:

Ensuite, nous identifierons notre axe de rotation et créerons notre tranche rectangulaire verticale perpendiculaire à l’axe de rotation (c’est-à-dire, l’axe des abscisses). Ce faisant, nous déterminons notre épaisseur à dx.

Méthode de la rondelle – Tournant Autour de l’Axe X

Étape 3:

Maintenant, nous devons déterminer notre rayon extérieur, R, et notre rayon intérieur, r.

Identification De L’Axe De Révolution Avec Le Rayon Intérieur Et Extérieur

Étape 4:

Enfin, on branche tout dans notre formule et on l’intègre pour trouver le volume du solide de révolution résultant.

\begin{equation}
\begin{array}{l}
V= \pi\int_{a}^{b} \ left(R^{2}\right) d x = \pi\int_{0}^{1}(\sqrt{x}) ^{2}-\left(x^{2}\right) ^{2} d x\\
V = \pi\int_{0}^{1} \left (x-x^{4} \droite) d x = \pi\gauche (\frac { x^{2}}{2}-\ frac {x^ {5}} {5} \ droite]_{0}^{1}=\ frac {3\pi} {10}
\end{array}
\end{equation}

Wow! Nous venons de constater que le volume de la région bornée lors de la rotation autour de l’axe des abscisses!

Méthode du disque Et de la rondelle Avec trou

Volume de la Méthode de la rondelle Solide

Voyez, pas si mal!

Résumé

Ensemble, nous allons travailler à travers une multitude de questions en détail pour trouver le volume d’un solide généré autour de l’axe des abscisses, de l’axe des ordonnées ou de toute ligne horizontale ou verticale, dont les sections sont des rondelles.

Ça va être amusant, alors allons-y !

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