Concept de variable aléatoire

Le terme « expérience statistique » est utilisé pour décrire tout processus par lequel plusieurs observations fortuites sont obtenues.

Tous les résultats possibles d’une expérience comprennent un ensemble appelé espace d’échantillonnage. Nous sommes intéressés par une description numérique du résultat.

Par exemple, lorsque nous lançons une pièce de monnaie « 3 » fois et que nous nous intéressons au nombre de têtes qui tombent, une valeur numérique de « 0, 1, 2, 3 » sera attribuée à chaque point d’échantillon.

Les chiffres `0`, `1`, `2`, et « 3 » sont des quantités aléatoires déterminées par le résultat d’une expérience.

Ils peuvent être considérés comme les valeurs assumées par une variable aléatoire x, qui représente dans ce cas le nombre de têtes lorsqu’une pièce est lancée 3 fois.

Nous pourrions donc écrire x1= 0, x2=1, x3=2 et x4=3.

Définitions

1. Une variable aléatoire est une variable dont la valeur est déterminée par le résultat d’une expérience aléatoire.

2. Une variable aléatoire discrète est celle dont l’ensemble des valeurs supposées est dénombrable (provient du comptage).

3. Une variable aléatoire continue est une variable dont l’ensemble des valeurs supposées est indénombrable (provient de la mesure.).

Nous utiliserons :

Une majuscule (majuscule) X pour la variable aléatoire et

Minuscules x1, x2, x3… pour les valeurs de la variable aléatoire dans une expérience. Ces xi représentent alors un événement qui est un sous-ensemble de l’espace d’échantillonnage.

Les probabilités des événements sont données par : P(x1), P(x2), P(x3),…

Nous utilisons également la notation ‘P(X)’. Par exemple, nous devrons peut-être trouver certaines des probabilités impliquées lorsque nous lançons un dé. On écrirait pour la probabilité d’obtenir un « 5 » lorsque l’on roule un dé :

`P(X=5)=1/6`

Exemple 1 – Variable aléatoire discrète

Deux boules sont tirées au hasard successivement sans remplacement dans une urne contenant « 4 » boules rouges et 6 boules noires.

Trouvez les probabilités de tous les résultats possibles.

Réponse

Exemple 2 – Variable aléatoire continue

Un pot de café est prélevé au hasard dans un processus de remplissage dans lequel une machine automatique remplit des pots de café chacun avec `1\ »kg »` de café. En raison de certains défauts dans le processus automatique, le poids d’un pot peut varier d’un pot à l’autre de l’ordre de `0,9\ »kg »`à `1,05\ »kg »`, à l’exclusion de ce dernier.

Soit X le poids d’un pot de café sélectionné. Quelle est la plage de X?

Réponse

Fonction de distribution

Définitions

1. Une distribution de probabilité discrète est un tableau (ou une formule) énumérant toutes les valeurs possibles qu’une variable discrète peut prendre, ainsi que les probabilités associées.

2. La fonction f(x) est appelée fonction de densité de probabilité pour la variable aléatoire continue X où l’aire totale sous la courbe délimitée par l’axe des abscisses est égale à `1`. c.-à-d.

`int_(-oo)^oo f(x)dx=1`

L’aire sous la courbe entre deux ordonnées quelconques x = a et x=b est la probabilité que X se situe entre a et b.

`int_a^bf(x)dx=P(a <=X <=b)`

Voir l’aire sous une courbe dans la section intégration pour un arrière-plan sur ça.

Probabilités En tant que fréquence relative

Si une expérience est effectuée un nombre suffisant de fois, alors à long terme, la fréquence relative d’un événement est appelée probabilité que cet événement se produise.

Exemple 3

Reportez-vous à l’exemple précédent. Le poids d’un pot de café sélectionné est une variable aléatoire continue. Le tableau suivant donne le poids en kg des pots `100` récemment remplis par la machine. Il répertorie les valeurs observées de la variable aléatoire continue et leurs fréquences correspondantes.

Trouvez les probabilités pour chaque catégorie de poids.

Poids X	Nombre de pots
`0,900-0,925`	`1`
`0,925-0,950`	`7`
`0,950-0,975`	`25`
`0,975-1,000`	`32`
`1,000-1,025`	`30`
` 1.025-1.050`	`5`
Total	`100`

Réponse

Valeur attendue d’une Variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire discrète avec la fonction de distribution de probabilité P(X). Ensuite, la valeur attendue de X notée E(X), ou μ, est définie comme:

E(X)= μ= Σ(xi × P(xi))

Pour calculer cela, nous multiplions chaque valeur possible de la variable par sa probabilité, puis ajoutons les résultats.

Σ(xi × P(xi)) = {x1 × P(x1)} + {x2 × P(x2)} + {x3 × P(x3)} +…

`E(X)` est également appelée la moyenne de la distribution de probabilité.

Exemple 4

Dans l’exemple 1 ci-dessus, nous avons eu une expérience où nous avons tiré « 2 » boules d’une urne contenant « 4 » boules rouges et « 6 » boules noires. Quel est le nombre attendu de boules rouges?

Réponse

Exemple 5

Je lance un dé et j’obtiens `$1` s’il affiche `1`, et j’obtiens `22` s’il affiche `2`, et j’obtiens `33′ s’il affiche ‘3’, etc. Quel est le montant d’argent auquel je peux m’attendre si je le lance `100′ fois?

Réponse

Example 6

The number of persons X, in a Singapore family chosen at random has the following probability distribution:

Find the average family size `E(X)`.

Réponse

Exemple 7

Dans un jeu de cartes avec mon ami, je paie une certaine somme d’argent à chaque fois que je perds. Je gagne 4$ si je tire un valet ou une reine et 5$ si je tire un roi ou un as d’un paquet ordinaire de 52 cartes à jouer. Si je pioche d’autres cartes, je perds. Que dois-je payer pour qu’on sorte à égalité ? (C’est-à-dire que le jeu est « juste »?)

Réponse

Variance d’une Variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire discrète avec la fonction de distribution de probabilité ‘P(X)’. La variance de X notée  » V(X)  » ou σ2 est définie comme suit :

Puisque μ= E(X), (ou la valeur moyenne), on pourrait aussi écrire ceci comme suit :

Une autre façon de calculer la valeur la variance est:

V(X)= σ2=E(X2)−2

Écart-type de la Distribution de probabilité

`sigma=sqrt(V(X)` est appelé écart-type de la distribution de probabilité. L’écart type est un nombre qui décrit l’étendue de la distribution. Un petit écart type signifie un petit écart, un grand écart type signifie un grand écart.

Dans les 3 distributions suivantes, nous avons la même moyenne (μ = 4), mais l’écart type devient plus grand, ce qui signifie que l’écart des scores est plus grand.

L’aire sous chaque courbe est ‘1’.

Exemple 8

Trouvez `V(X)` pour la distribution de probabilité suivante :

X	`8`	`12`	`16`	`20`	`24`
P(X)	`1/8`	`1/6`	`3/8`	`1/4`	`1/12`

Réponse