Wussten Sie, dass die Scheibenmethode eine Erweiterung der Scheibenmethode ist, um das Volumen eines Rotationsfestkörpers zu ermitteln, um Feststoffe mit einem Loch zu bedecken?

Jenn, Gründer Calcworkshop®, 15+ Jahre Erfahrung (Lizenziert & Zertifizierter Lehrer)

Es ist wahr!

Lass uns reinspringen und mehr herausfinden!

Hintergrund

Um zu verstehen, wie es geht, erinnern wir uns daran, wie wir einen schattierten Bereich berechnen würden, wie wir es in der Geometrie getan haben.

Angenommen, wir werden gebeten, die Fläche eines Rechtecks zu finden, wobei ein Dreieck in der Mitte fehlt.

Was würden wir tun?

Zuerst würden wir die Fläche des Rechtecks und die Fläche des Dreiecks getrennt sehen.

Dann würden wir diese beiden Werte subtrahieren, um die verbleibende Fläche wie unten zu finden.

Verwenden Sie die Subtraktionsmethode, um den Bereich des schattierten Region – Rechtecks zu finden

Nun, wir können dasselbe tun, um Volumenkörper der Revolution zu finden. Wir werden eine Diskette nehmen und einen Teil entfernen.

Angenommen, wir haben ein Rechteck, das senkrecht zur Umdrehungsachse steht, aber das Rechteck berührt die Umdrehungsachse nicht direkt.

Wie würden wir die Fläche dieses Rechtecks berechnen? Siehe unten.

Finde die Fläche des schattierten Bereichs eines Rechtecks

Das bedeutet, wenn wir das Rechteck um die Rotationsachse drehen, finden wir das Volumen des äußeren Radius (R) minus des inneren Radius (r).

\begin{equation}
V=\pi R^{2} w-\pi r^{2} w=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right) w
\end{equation}

Wenn wir diese Technik auf eine unendliche Anzahl von Rechtecken anwenden, können wir folglich das Volumen des Volumenkörpers ermitteln, der durch Drehen eines begrenzten Bereichs um eine Achse mit der folgenden Formel gebildet wird.

\begin{Gleichung}
V=\pi \int_{a}^{b}\left(R^{2}-r^{2}\right) d x
\end{Gleichung}

Großartig!

Die Waschmethode (Schritt für Schritt)

Schauen wir uns also ein Beispiel an und sehen uns die Waschmethode für Feststoffe der Revolution in Aktion an.

Ermitteln Sie das Volumen des gebildeten Festkörpers, indem Sie den durch die Graphen begrenzten Bereich um die x-Achse drehen.

\begin{equation}
y=x^{2} \text { and } y=\sqrt{x}
\end{equation}

Schritt 1:

Zuerst werden wir unsere begrenzte Region grafisch darstellen.

So finden Sie das Volumen eines Festkörpers mit Integralen

Schritt 2:

Als nächstes identifizieren wir unsere Rotationsachse und erstellen unsere vertikale, rechteckige Scheibe senkrecht zur Rotationsachse (d. H. Der x-Achse). Dabei bestimmen wir unsere Dicke als dx.

Waschmethode – Drehen um die X-Achse

Schritt 3:

Jetzt müssen wir unseren Außenradius R und unseren Innenradius r bestimmen.

Identifizieren der Rotationsachse mit dem inneren und äußeren Radius

Schritt 4:

Zuletzt stecken wir alles in unsere Formel und integrieren es, um das Volumen des resultierenden Festkörpers der Revolution zu finden.

\begin{Gleichung}
\begin{array}{l}
V=\pi \int_{a}^{b}\links(R^ {2}\rechts) d x=\pi \int_{0}^{1}(\sqrt{x})^{2}-\links(x^{2}\rechts)^{2} d x \\
V=\pi \int_{0}^{1}\links(x-x^{4} \rechts) d x = \pi \ links (\frac {x^{2}}{2}-\ frac{x^{5}}{5}\rechts]_{0}^{1}=\ frac{3 \pi}{10}
\Ende{array}
\Ende{Gleichung}

Wow! Wir haben gerade festgestellt, dass das Volumen der begrenzten Region, wenn sie um die x-Achse gedreht!

Scheiben- und Waschmethode Mit Loch

Volumen der Solid – Washer-Methode

Siehe, nicht so schlimm!

Zusammenfassung

Gemeinsam werden wir eine Fülle von Fragen im Detail durcharbeiten, um das Volumen eines Volumenkörpers zu ermitteln, der um die x-Achse, y-Achse oder eine beliebige horizontale oder vertikale Linie erzeugt wird, deren Querschnitte unterschiedlich sind.

Es wird Spaß machen, also lasst uns anfangen!

Video-Tutorial mit vollständiger Lektion & Detaillierte Beispiele (Video)

Erhalten Sie mit Ihrem Abonnement Zugriff auf alle Kurse und über 150 HD-Videos

Monatliche, halbjährliche und jährliche Pläne verfügbar

Holen Sie sich jetzt mein Abonnement

Noch nicht bereit zum Abonnieren? Nehmen Sie Calcworkshop für eine Spritztour mit unserem kostenlosen Online-Kurs