Concepto de Variable aleatoria

El término «experimento estadístico» se utiliza para describir cualquier proceso mediante el cual se obtienen varias observaciones casuales.

Todos los resultados posibles de un experimento comprenden un conjunto que se llama espacio de muestra. Estamos interesados en alguna descripción numérica del resultado.

Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda ‘ 3 ‘ veces, y estamos interesados en el número de cabezas que caen, entonces se asignará un valor numérico de `0, 1, 2, 3` a cada punto de muestra.

Los números`0`, `1`, `2`, y ‘ 3 ‘ son cantidades aleatorias determinadas por el resultado de un experimento.

Pueden considerarse como los valores asumidos por alguna variable aleatoria x, que en este caso representa el número de cabezas cuando se lanza una moneda 3 veces.

Así que podríamos escribir x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 y x4 = 3.

Definiciones

1. Una variable aleatoria es una variable cuyo valor está determinado por el resultado de un experimento aleatorio.

2. Una variable aleatoria discreta es aquella cuyo conjunto de valores asumidos es contable (surge del conteo).

3. Una variable aleatoria continua es aquella cuyo conjunto de valores asumidos es incontable (surge de la medición.).

Usaremos:

Una X mayúscula (mayúscula) para la variable aleatoria y

Minúscula x1, x2, x3… para los valores de la variable aleatoria en un experimento. Estos xi representan un evento que es un subconjunto del espacio de muestra.

Las probabilidades de los eventos están dadas por: P(x1), P(x2), P(x3), …

También usamos la notación ‘ P (X)’. Por ejemplo, es posible que necesitemos encontrar algunas de las probabilidades involucradas cuando lanzamos un dado. Nos gustaría escribir para la probabilidad de obtener un «5» cuando se lanza un dado como:

`P(X=5)=1/6`

Ejemplo 1 – Discrete Variable Aleatoria

las Dos bolas son elegidos al azar en sucesión sin reemplazo de una urna que contiene `4` bolas rojas y `6` bolas negras.

Encuentra las probabilidades de todos los resultados posibles.

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Ejemplo 2-Variable aleatoria continua

Un frasco de café se recoge al azar de un proceso de llenado en el que una máquina automática llena frascos de café con «1\» kg » de café. Debido a algunas fallas en el proceso automático, el peso de un frasco podría variar de frasco a frasco en el rango de `0.9\ «kg»` a `1.05\ «kg»`, excluyendo este último.

Deje que X denote el peso de un frasco de café seleccionado. ¿Cuál es el rango de X?

Respuesta

Función de distribución

Definiciones

1. Una distribución de probabilidad discreta es una tabla (o una fórmula) que lista todos los valores posibles que una variable discreta puede asumir, junto con las probabilidades asociadas.

2. La función f (x) se denomina función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua X, donde el área total bajo la curva limitada por el eje x es igual a `1`. i. e.

`int_(-oo)^oo f(x)dx=1`

el área bajo La curva entre dos coordenadas x = a y x = b es la probabilidad de que X se encuentra entre a y b.

`int_a^bf(x)dx=P(a<=X<=b)`

el área bajo una curva en la sección de integración para algunos antecedentes sobre este.

Probabilidades Como Frecuencia Relativa

Si un experimento se realiza un número suficiente de veces, a largo plazo, la frecuencia relativa de un evento se denomina probabilidad de que ocurra ese evento.

Ejemplo 3

Consulte el ejemplo anterior. El peso de un frasco de café seleccionado es una variable aleatoria continua. La siguiente tabla muestra el peso en kg de los frascos » 100 » que la máquina ha llenado recientemente. Enumera los valores observados de la variable aleatoria continua y sus frecuencias correspondientes.

Encuentre las probabilidades para cada categoría de peso.

Peso X	Cantidad de los Frascos
`0.900 – 0.925`	`1`
`0.925 – 0.950`	`7`
`0.950 – 0.975`	`25`
`0.975 – 1.000`	`32`
`1.000 – 1.025`	`30`
`1.025 – 1.050`	`5`
Total	`100`

Respuesta

Valor esperado de una variable aleatoria

Sea X una variable aleatoria discreta con la función de distribución de probabilidad P (X). Entonces el valor esperado de X, denotado por E(X), o µ, se define como:

E(X) = µ = ∑ (xi × P(xi))

Para calcular esto, se multiplica cada valor posible de la variable por su probabilidad, a continuación, agregar los resultados.

Σ (xi × P(xi)) = { x1 × P(x1)} + { x2 × P(x2)} + { x3 × P(x3)} + …

`E(X) ‘ también se denomina la media de la distribución de probabilidad.

Ejemplo 4

En el ejemplo 1 de arriba, tuvimos un experimento en el que dibujamos » 2 «bolas de una urna que contenía» 4 «bolas rojas y» 6 » negras. ¿Cuál es el número esperado de bolas rojas?

Respuesta

Ejemplo 5

me tira un dado y obtener `$1` si se trata de mostrar `1`, y obtener `$2` si se trata de mostrar `2`, y obtener `$3` si se trata de mostrar `3`, etc. ¿Cuál es la cantidad de dinero que puedo esperar si lo tiro » 100 » veces?

Respuesta

Example 6

The number of persons X, in a Singapore family chosen at random has the following probability distribution:

Find the average family size `E(X)`.

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Ejemplo 7

En un juego de cartas con mi amigo, pago una cierta cantidad de dinero cada vez que pierdo. Gano ‘$4 `si saco una jota o una reina y gano` $5 `si saco un rey o un as de una baraja ordinaria de` 52’. Si saco otras cartas, pierdo. ¿Cuánto debo pagar para que estemos a mano? (Es decir, el juego es «justo»?)

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Varianza de una variable aleatoria

Sea X una variable aleatoria discreta con la función de distribución de probabilidad ‘ P (X)’. La varianza de X se denota por V(X)` o σ2 se define como:

Desde µ = E(X), (o el valor promedio), también podemos escribir esto como:

Otra forma de calcular la varianza es:

V(X) = σ2 = E(X2) − 2

la Desviación Estándar de la Distribución de Probabilidad

`sigma=sqrt(V(X)` se llama la desviación estándar de la distribución de probabilidad. La desviación estándar es un número que describe la extensión de la distribución. Desviación estándar pequeña significa propagación pequeña, desviación estándar grande significa propagación grande.

En las 3 distribuciones siguientes, tenemos la misma media (μ = 4), pero la desviación estándar se hace mayor, lo que significa que la propagación de las puntuaciones es mayor.

El área bajo cada curva es `1`.

Ejemplo 8

Encontrar `V(X)` para la siguiente distribución de probabilidad:

X	`8`	`12`	`16`	`20`	`24`
P(X)	`1/8`	`1/6`	`3/8`	`1/4`	`1/12`

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